QUESTÃO - TANQUE DE MISTURA COM AQUECIMENTO E DOIS COMPONENTES
Duas correntes líquidas, 1 e 2 , são alimentadas continuamente em um tanque de mistura perfeitamente agitado, produzindo uma corrente de saída 3, conforme mostrado no esquema do processo. O tanque possui volume constante e recebe calor através de uma serpentina alimentada por vapor, fornecendo uma taxa de calor
.
Cada corrente de alimentação contém dois componentes dissolvidos, A e B.
A corrente 1 possui:
- Vazão volumétrica:
- Temperatura:
- Concentração de A: CA1
- Concentração de
- Densidade:
- Entalpia específica: h1
A corrente 2 possui:
- Vazão volumétrica:
- Temperatura: T2
- Concentração de A: CA2
- Concentração de
- Densidade:
- Entalpia específica: h2
A corrente de saída 3 apresenta:
- Vazão volumétrica: F3
- Temperatura: T3
- Concentração de A: CA3
- Concentração de B: CB3
- Densidade: ρ3
- Entalpia específica: h3
Dados adicionais:
- Volume do tanque:
- Calor específico médio do líquido:
- Taxa de calor fornecida pela serpentina:
- Temperatura de referência: TR
Considerações:
- O tanque opera em mistura perfeita.
- O volume permanece constante.
- As propriedades físicas são constantes.
- Admitir:
- Desprezar variações de energia cinética e potencial.
- A entalpia específica pode ser representada por:
Pede-se:
a) Aplicar o balanço global de massa e obter a equação diferencial do sistema.
b) Aplicar o balanço de massa para o componente A e determinar a equação diferencial para CA3.
c) Aplicar o balanço de massa para o componente B e determinar a equação diferencial para CB3.
d) Aplicar o balanço de energia e obter a equação diferencial para a temperatura de saída T3.
e) Determinar as expressões de regime permanente para:
- densidade de saída;
- concentração de A;
- concentração de B;
- temperatura de saída.
f) Determinar numericamente, em regime permanente:
- a vazão de saída F3;
- a concentração de saída do componente A;
- a concentração de saída do componente B ;
- a temperatura de saída do tanque.
A corrente 1 possui:
b) Aplicar o balanço de massa para o componente A e determinar a equação diferencial para CA3.
c) Aplicar o balanço de massa para o componente B e determinar a equação diferencial para CB3.
d) Aplicar o balanço de energia e obter a equação diferencial para a temperatura de saída T3.
e) Determinar as expressões de regime permanente para:
f) Determinar numericamente, em regime permanente:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações relevantes fornecidas (numeração e valores foram retirados do enunciado):
O que se pede:
- (a) aplicar o balanço global de massa e obter a equação diferencial do sistema;
- (b) balanço de massa para o componente A e equação diferencial para
; - (c) balanço de massa para o componente B e equação diferencial para
; - (d) balanço de energia e equação diferencial para a temperatura de saída
; - (e) expressões de regime permanente para: densidade de saída,
, , ; - (f) valores numéricos em regime permanente de
, , , .
Dados fornecidos (pego do enunciado):
- Vazões volumétricas:
-
-
-
vazão de saída (desconhecida)
-
- Temperaturas das entradas:
-
-
-
temperatura do tanque/saída (desconhecida, função do tempo)
-
- Concentrações:
-
, -
, -
são concentrações no tanque/saída (função do tempo)
-
- Densidades:
- Volume do tanque:
- Calor específico médio:
- Taxa de calor fornecida:
- Temperatura de referência:
- Entalpias específicas (linearizadas): para qualquer corrente
,
Considerações do enunciado a usar:
- mistura perfeita (concentração e temperatura do líquido no tanque homogêneas e iguais às da saída),
- volume constante,
- propriedades constantes,
- desprezar energia cinética e potencial.
Passo 2
Balanço global de massa — montar a equação geral e simplificar.
A ideia: o balanço de massa para o fluido no tanque expressa que a taxa de acumulação de massa no tanque é igual à massa que entra menos a massa que sai. Em fórmula, para cada instante:
onde
são vazões volumétricas (em
) e
densidades (
). Aqui a massa no tanque é
. Explicação do porquê:
é massa total, sua derivada dá a taxa de variação de massa; as entradas e saídas estão em massa por tempo (
).
Como o enunciado admite
e
é constante (mistura em nível constante), podemos escrever:
Se
é constante, divide-se por
e obtemos a equação volumétrica:
Mas o enunciado afirma volume constante (
fixo). Então
e, portanto, para todo instante deve valer:
Essa última relação é a consequência física: a vazão de saída iguala a soma das vazões de entrada quando o volume não muda. Essa é a equação diferencial/condição global de massa (a equação diferencial degenera para
algo que nos dá a relação entre vazões).
Passo 3
Balanço de massa para o componente A — formular e chegar à equação diferencial para
.
Princípio: para um componente conservado (sem reação), a taxa de acumulação de moles de
no tanque é igual à soma das taxas de entrada de mols de
menos a taxa de saída de mols de
.
Usamos concentrações em
e volumes em
(consistência de unidades). A massa (na verdade número de mols) de
no tanque é
. Assim:
Explicação dos termos:
é vazão volumétrica
concentração = mol/s que entra pela corrente
.
é mol/s que sai.
Como
é constante, podemos tirar
para fora da derivada:
Podemos reescrever em forma padrão (equação diferencial de primeira ordem linear):
Observação didática: essa forma mostra que
tende para uma média ponderada das concentrações de entrada, com velocidade de resposta proporcional a
.
Passo 4
Balanço de massa para o componente B — análogo ao A.
Mesma lógica que no passo anterior, substituindo concentrações de
. Começamos por:
Com
constante:
ou em forma padrão:
Passo 5
Balanço de energia — formular o balanço e obter a equação diferencial para
.
Princípio: taxa de acumulação de energia no conteúdo do tanque = energia que entra com as correntes + calor fornecido pela serpentina
menos energia que sai com a corrente de saída.
A energia interna útil por unidade de massa é a entalpia específica
. A energia total no tanque é
. Então:
Explicação:
tem unidades de (kg/m3)(m3/s)(kJ/kg) = kJ/s, energia por tempo.
Usando
e fatorando
, obtemos:
Agora inserir a relação linearizada das entalpias:
para
. Substituindo cada
no balanço, teremos termos com
que se cancelam graças ao balanço de massa (porque
quando
é constante). Vou mostrar isso matematicamente.
Desenvolvendo o lado direito (antes da simplificação):
Os termos com
agrupam-se em
que é zero devido a
. Portanto só restam os termos com
:
No lado esquerdo, como
e
constante,
(porque a derivada de
é zero e
).
Igualando e cancelando o fator
quando apropriado, obtemos a forma final da equação diferencial para
:
Dividindo por
:
Comentário didático: as duas primeiras parcelas representam o efeito de resfriamento/aquecimento por mistura com as correntes de entrada; a última parcela é o aquecimento adicional fornecido pela serpentina. A velocidade com que
responde é proporcional a
e proporcionalmente amortecida por
.
Passo 6
Encontrar expressões de regime permanente (estado estacionário) — parte (e).
No regime permanente (regime estacionário) as grandezas do tanque não mais variam com o tempo, isto é
. Usamos as equações diferenciais obtidas e anulamos as derivadas.
(a) Densidade de saída: o enunciado já assume
. Portanto
(b) Para
: do balanço de A em regime permanente (
):
Logo,
Como
(volume constante), pode-se também escrever
(c) Para
: análogo,
(d) Para
: do balanço de energia em regime permanente (
):
Isolando
:
Novamente, com
essa fórmula dá a temperatura final como média ponderada das temperaturas de entrada mais o efeito do calor fornecido pela serpentina.
Passo 7
Preparar para os cálculos numéricos do item (f): conversões e valores a usar.
Precisamos calcular numericamente, em regime permanente:
-
, -
, -
, -
.
Unidades consistentes:
- Converter vazões de
para quando usarmos densidade em e volume em . -
.
-
- Dados numéricos (do enunciado):
-
. -
. -
. -
. -
. -
. -
, . -
, (mol/L). -
, (mol/L).
-
Observação: concentrações e vazões para cálculos de
,
podem ser usados diretamente em
e
porque a fórmula envolve razões homogêneas (por exemplo
); mas para
devemos usar vazões em
se usar
que tem unidade
. Eu já converti
e
acima.
Passo 8
Cálculo numérico 1 — vazão de saída
.
Pela relação do Passo 2:
Passo 9
Cálculo numérico 2 — concentração de saída do componente A em regime permanente.
Usando
em
e
:
Passo 10
Cálculo numérico 3 — concentração de saída do componente B em regime permanente.
Usando
Passo 11
Cálculo numérico 4 — temperatura de saída
em regime permanente.
Usar a fórmula (com
em
):
Calcular o termo
:
Calcular
com
em
:
Somando o termo do calor:
Dividir por
:
(Arredondamento: mantive duas casas decimais; interpretação: sem a serpentina a média ponderada das temperaturas daria algo menor, o termo
eleva a temperatura.)
Passo 12
Resumo final dos resultados (pronto para conferir rapidamente).
- A equação global de massa (diferencial) e condição são:
- Balanços de massa (componentes A e B):
Formas normalizadas:
- Balanço de energia (equação diferencial para
): ou - Expressões de regime permanente (símbólicas):
- Valores numéricos em regime permanente:
Resposta
(a)
com
constante:
(b)
ou
ou
(c)
ou
ou
(d)
ou
ou
(e) Regime permanente (expressões):
(f) Valores numéricos em regime permanente: