Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é a potência de uma função cujo expoente depende de
. - O ponto de interesse é
. - Note que
pode ser fatorado (essa observação será usada depois).
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão usando fatoração. Observe que
Portanto a expressão do limite fica
Podemos reescrever isso, usando as regras de potência, como
Aqui usei a identidade geral
válida para
. Repare que para
temos
, então
está bem definida.
Passo 3
Defina
. Quando
temos
. Em termos de
a exponenciação dentro do
fica mais simples:
Portanto o limite original
pode ser escrito como
contando que o limite dentro do
exista (pode ser
).
Explicando a técnica: quando temos uma expressão do tipo
é comum tomar logaritmo natural para trazer o expoente para multiplicação: se
então
. Se conseguirmos calcular
, então
. Essa é a ferramenta que estou usando aqui.
Passo 4
Calcular
.
Use a substituição
. Quando
(pela direita ou pela esquerda),
e então
. Em termos de
temos
Agora analise
quando
. O fator
cresce muito mais rápido que
, então
. Logo
Portanto
(Comentário didático breve: uma forma alternativa e conhecida é observar que para qualquer
vale
. Isso implica
. Tomando
obtemos o mesmo resultado de que
.)
Passo 5
Voltando à expressão original, já que
temos
Conclusão: o limite da expressão dada é
.