Calcule:
\lim _{x \rightarrow-3}\left(x^{2}+6 x+9\right)^{\frac{1}{(x+3)^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -3}\left(x^{2}+6x+9\right)^{\frac{1}{(x+3)^{2}}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é a potência de uma função cujo expoente depende de x.
  • O ponto de interesse é x\to -3.
  • Note que x^{2}+6x+9 pode ser fatorado (essa observação será usada depois).

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão usando fatoração. Observe que
x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}.
Portanto a expressão do limite fica
\left((x+3)^{2}\right)^{\frac{1}{(x+3)^{2}}}.
Podemos reescrever isso, usando as regras de potência, como
\left((x+3)^{2}\right)^{\frac{1}{(x+3)^{2}}}=\exp\!\left(\frac{\ln\big((x+3)^{2}\big)}{(x+3)^{2}}\right).
Aqui usei a identidade geral \,a^{b}=\exp(b\ln a)\, válida para a>0. Repare que para x\neq -3 temos (x+3)^{2}>0, então \ln\big((x+3)^{2}\big) está bem definida.

Passo 3

Defina t=x+3. Quando x\to -3 temos t\to 0. Em termos de t a exponenciação dentro do \exp fica mais simples:
\frac{\ln\big((x+3)^{2}\big)}{(x+3)^{2}}=\frac{\ln\big(t^{2}\big)}{t^{2}}=\frac{2\ln|t|}{t^{2}}.
Portanto o limite original L pode ser escrito como
L=\exp\!\left(\lim_{t\to 0}\frac{2\ln|t|}{t^{2}}\right),
contando que o limite dentro do \exp exista (pode ser \pm\infty).
Explicando a técnica: quando temos uma expressão do tipo f(x)^{g(x)} é comum tomar logaritmo natural para trazer o expoente para multiplicação: se y=f(x)^{g(x)} então \ln y=g(x)\ln f(x). Se conseguirmos calcular \lim \ln y, então \lim y=\exp(\lim \ln y). Essa é a ferramenta que estou usando aqui.

Passo 4

Calcular \displaystyle \lim_{t\to 0}\frac{2\ln|t|}{t^{2}}.
Use a substituição u=\frac{1}{|t|}. Quando t\to 0 (pela direita ou pela esquerda), |t|\to 0^{+} e então u\to +\infty. Em termos de u temos
\frac{2\ln|t|}{t^{2}} = \frac{2\ln\!\left(\tfrac{1}{u}\right)}{\tfrac{1}{u^{2}}}= \frac{2(-\ln u)}{1/u^{2}} = -2\,u^{2}\ln u.
Agora analise \displaystyle u^{2}\ln u quando u\to\infty. O fator u^{2} cresce muito mais rápido que \ln u, então u^{2}\ln u\to +\infty. Logo
-2\,u^{2}\ln u \to -\infty.
Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{2\ln|t|}{t^{2}} = -\infty.
(Comentário didático breve: uma forma alternativa e conhecida é observar que para qualquer \alpha>0 vale \lim_{t\to 0^{+}} t^{\alpha}\ln t =0. Isso implica \lim_{t\to 0^{+}} \dfrac{|\ln t|}{t^{\alpha}}=+\infty. Tomando \alpha=2 obtemos o mesmo resultado de que \dfrac{\ln|t|}{t^{2}}\to -\infty.)

Passo 5

Voltando à expressão original, já que
\lim_{t\to 0}\frac{2\ln|t|}{t^{2}} = -\infty,
temos
L=\exp\!\left(\lim_{t\to 0}\frac{2\ln|t|}{t^{2}}\right)=\exp(-\infty)=0.
Conclusão: o limite da expressão dada é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados