Calcule:
\lim _{x \rightarrow-1^{-}} \sqrt{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -1^-} \sqrt{1-x^{2}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A função considerada é f(x)=\sqrt{1-x^{2}}.
  • O símbolo \lim_{x\to -1^-} significa o limite quando x se aproxima de -1 vindo pela esquerda (isto é, por valores com x<-1).
  • Precisa-se decidir se esse limite existe e, se existir, qual é o seu valor.

Passo 2

Entender a definição real da raiz quadrada é essencial: para números reais, \sqrt{y} só está definido quando y\ge 0. Logo, para que f(x)=\sqrt{1-x^{2}} seja um número real precisamos ter
1-x^{2}\ge 0.
Vou resolver essa desigualdade passo a passo.

Passo 3

Resolvendo 1-x^{2}\ge 0:
1-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 1.
Tomando raiz quadrada (lembrando que |x|\le 1 é equivalente a -1\le x\le 1):
x^{2}\le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -1\le x\le 1.
Portanto o domínio real da função f(x)=\sqrt{1-x^{2}} é o intervalo [-1,1].

Passo 4

Interpretando o limite lateral pedido: para existir \lim_{x\to -1^-} f(x) é necessário que haja pontos da variável x com x<-1 que se aproximem de -1 e para os quais f(x) esteja definido (ou equivalentemente existam sequências x_n<-1 com x_n\to -1 tais que f(x_n) faça sentido em \mathbb{R}). Mas do passo anterior vimos que a função só está definida para -1\le x\le 1. Ou seja, NÃO existem pontos reais com x<-1 nos quais a função seja real.

Passo 5

Como não há pontos reais à esquerda de -1 onde f esteja definida, não existe um modo de aproximar -1 por valores x<-1 mantendo f(x) real. Pelo critério de limite lateral (sequências ou vizinhança à esquerda), isso impede a existência de \lim_{x\to -1^-} \sqrt{1-x^{2}} como limite real.
Observação útil (opcional): a partir da direita a função é definida e contínua, e \lim_{x\to -1^+}\sqrt{1-x^{2}}=0, mas isso não interfere no limite pela esquerda, que não existe.

Resposta

Não existe.

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