Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{20}{\sqrt{x^{2}+1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{20}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A variável x tende para -\infty (ou seja, assume valores negativos com módulo muito grande).
  • O numerador é o número constante 20.
  • O denominador é \sqrt{x^{2}+1}, que é sempre positivo para todo x.
  • A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quando x vai para -\infty?

Passo 2

Fato útil que vamos usar: para qualquer número real x vale
\sqrt{x^{2}} = |x|,
onde |x| é o valor absoluto de x. Explicando isso de forma bem direta: x^{2} elimina o sinal de x, e a raiz quadrada devolve a magnitude positiva, que é exatamente |x|. Por exemplo, \sqrt{(-3)^{2}}=\sqrt{9}=3=|{-3}|.

Passo 3

Vamos manipular a raiz para destacar esse comportamento quando |x| é grande. Escrevemos
\sqrt{x^{2}+1}=\sqrt{x^{2}\!\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.
Aqui usamos que \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} quando a,b\ge0, e a igualdade do Passo 2.

Passo 4

Substituindo essa expressão no quociente, obtemos
\frac{20}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{20}{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=\frac{20}{|x|}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}.
Agora observe dois limites fáceis quando x\to -\infty:
  • Como |x|\to+\infty, segue que \dfrac{20}{|x|}\to 0.
  • Como \dfrac{1}{x^{2}}\to 0, segue que \sqrt{1+\dfrac{1}{x^{2}}}\to 1, logo \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}\to 1.
Pelo fato de o produto de limites existir quando cada fator tem limite finito, o produto tende a
0\cdot 1 = 0.

Passo 5

Uma outra maneira alternativa (e útil para checar) é usar a desigualdade de aperto (squeeze): para todo x\neq 0 tem-se \sqrt{x^{2}+1}>\sqrt{x^{2}}=|x|, portanto
0<\frac{20}{\sqrt{x^{2}+1}}<\frac{20}{|x|}.
Como \dfrac{20}{|x|}\to 0 quando x\to -\infty, pela desigualdade de aperto concluímos novamente que o limite é 0.

Passo 6

Interpretação final e sinal: o quociente é sempre positivo para todo x, e à medida que |x| cresce o denominador cresce sem limite, fazendo a fração decair até 0. Para x\to -\infty o limite é 0 vindo pela direita (valores positivos, arbitrariamente pequenos), mas o valor do limite é simplesmente 0.

Resposta

0

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