Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A variável
tende para (ou seja, assume valores negativos com módulo muito grande). - O numerador é o número constante
. - O denominador é
, que é sempre positivo para todo . - A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quando
vai para ?
Passo 2
Fato útil que vamos usar: para qualquer número real
vale
onde
é o valor absoluto de
. Explicando isso de forma bem direta:
elimina o sinal de
, e a raiz quadrada devolve a magnitude positiva, que é exatamente
. Por exemplo,
.
Passo 3
Vamos manipular a raiz para destacar esse comportamento quando
é grande. Escrevemos
Aqui usamos que
quando
, e a igualdade do Passo 2.
Passo 4
Substituindo essa expressão no quociente, obtemos
Agora observe dois limites fáceis quando
:
- Como
, segue que . - Como
, segue que , logo .
Pelo fato de o produto de limites existir quando cada fator tem limite finito, o produto tende a
Passo 5
Uma outra maneira alternativa (e útil para checar) é usar a desigualdade de aperto (squeeze): para todo
tem-se
, portanto
Como
quando
, pela desigualdade de aperto concluímos novamente que o limite é
.
Passo 6
Interpretação final e sinal: o quociente é sempre positivo para todo
, e à medida que
cresce o denominador cresce sem limite, fazendo a fração decair até
. Para
o limite é
vindo pela direita (valores positivos, arbitrariamente pequenos), mas o valor do limite é simplesmente
.