Calcule:
\lim _{x \rightarrow-1} \log _{2}\left(3 x^{2}+4 x-2\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -1} \log_{2}\!\bigl(3x^{2}+4x-2\bigr).
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=\log_{2}\!\bigl(3x^{2}+4x-2\bigr).
  • O ponto de interesse para o limite é x\to -1.

Passo 2

Lembrete importante sobre logaritmo: \log_{2}(y) está definida (no conjunto dos números reais) somente quando y>0. Assim, para que f(x) faça sentido real perto de x=-1 é preciso que 3x^{2}+4x-2>0 para x arbitrariamente próximos de -1. Primeiro avalio o polinômio no ponto:
3(-1)^{2}+4(-1)-2 = 3-4-2 = -3.
Portanto o argumento do logaritmo em x=-1 é -3, que é negativo, logo f(-1) não está definida (em \mathbb{R}).

Passo 3

Para decidir se existem pontos arbitrariamente próximos de -1 nos quais o argumento seja positivo, faço uma análise do sinal do polinômio p(x)=3x^{2}+4x-2. Calculo as raízes de p(x) usando a fórmula quadrática. O discriminante é
\Delta = 4^{2}-4\cdot 3\cdot(-2)=16+24=40.
As raízes são
x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{40}}{2\cdot 3}=\frac{-4\pm 2\sqrt{10}}{6}=\frac{-2\pm\sqrt{10}}{3}.
Aproximações numéricas:
x_{1}\approx\frac{-2-\sqrt{10}}{3}\approx -1{,}7208,\qquad x_{2}\approx\frac{-2+\sqrt{10}}{3}\approx 0{,}3874.

Passo 4

Análise do sinal de p(x): como o coeficiente de x^{2} é 3>0, a parábola abre para cima. Logo p(x)>0 para x<x_{1} ou x>x_{2}, e p(x)<0 para x_{1}<x<x_{2}. Observando as aproximações, -1 pertence ao intervalo (x_{1},x_{2}) porque
-1{,}7208 < -1 < 0{,}3874.
Portanto existe um intervalo aberto em torno de -1 no qual p(x)<0. Em outras palavras, há um \delta>0 tal que, para todo x com 0<|x+1|<\delta, vale 3x^{2}+4x-2<0.

Passo 5

Conclusão sobre o limite: como a expressão interior do logaritmo é negativa para todos os x suficientemente próximos de -1, a função real x\mapsto\log_{2}\!\bigl(3x^{2}+4x-2\bigr) não está definida em nenhum ponto da vizinhança puncturada de -1. Pelo conceito usual de limite de funções reais, para que o limite exista é necessário que a função esteja definida em pontos arbitrariamente próximos do ponto de interesse (exceto possivelmente no próprio ponto). Aqui isso não ocorre, logo o limite não existe no conjunto dos números reais.

Resposta

O limite não existe (a função \log_{2}(3x^{2}+4x-2) não está definida em qualquer vizinhança de -1).

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