Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse para o limite é
.
Passo 2
Lembrete importante sobre logaritmo:
está definida (no conjunto dos números reais) somente quando
. Assim, para que
faça sentido real perto de
é preciso que
para
arbitrariamente próximos de
. Primeiro avalio o polinômio no ponto:
Portanto o argumento do logaritmo em
é
, que é negativo, logo
não está definida (em
).
Passo 3
Para decidir se existem pontos arbitrariamente próximos de
nos quais o argumento seja positivo, faço uma análise do sinal do polinômio
. Calculo as raízes de
usando a fórmula quadrática. O discriminante é
As raízes são
Aproximações numéricas:
Passo 4
Análise do sinal de
: como o coeficiente de
é
, a parábola abre para cima. Logo
para
ou
, e
para
. Observando as aproximações,
pertence ao intervalo
porque
Portanto existe um intervalo aberto em torno de
no qual
. Em outras palavras, há um
tal que, para todo
com
, vale
.
Passo 5
Conclusão sobre o limite: como a expressão interior do logaritmo é negativa para todos os
suficientemente próximos de
, a função real
não está definida em nenhum ponto da vizinhança puncturada de
. Pelo conceito usual de limite de funções reais, para que o limite exista é necessário que a função esteja definida em pontos arbitrariamente próximos do ponto de interesse (exceto possivelmente no próprio ponto). Aqui isso não ocorre, logo o limite não existe no conjunto dos números reais.
Resposta
O limite não existe (a função
não está definida em qualquer vizinhança de
).