Calcule:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{x}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão é uma potência com base \dfrac{x+4}{x-3} e expoente x.
  • Quando x\to+\infty a base tende a 1 porque os termos de maior ordem em numerador e denominador são ambos x.
  • O expoente tende a +\infty.
  • Portanto temos uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. O objetivo é resolver essa indeterminação e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Estratégia (explicada passo a passo): para limites do tipo 1^{\infty} é comum tomar o logaritmo natural da expressão, transformar o problema em um limite do tipo “algo” e depois voltar com a exponencial. Mais precisamente, se definirmos
L=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{x},
e se o limite de \ln da expressão existir e for finito, então podemos escrever
L=\exp\!\left(\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(\frac{x+4}{x-3}\right)\right),
pois a função \exp é contínua e transforma o limite do log de volta no limite original. Vamos então calcular o limite
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(\frac{x+4}{x-3}\right).

Passo 3

Simplificar a expressão dentro do logaritmo: manipule a fração para deixá-la na forma 1+ (algo pequeno).
\frac{x+4}{x-3}=\frac{(x-3)+7}{x-3}=1+\frac{7}{x-3}.
Logo
x\ln\!\left(\frac{x+4}{x-3}\right)=x\ln\!\left(1+\frac{7}{x-3}\right).

Passo 4

Fazer uma reescrita útil introduzindo u=\dfrac{7}{x-3}. Observe que quando x\to+\infty temos u\to0^+. Reescrevendo o produto:
x\ln\!\left(1+\frac{7}{x-3}\right) = \frac{x}{x-3}\cdot 7\cdot\frac{\ln(1+u)}{u},
porque \dfrac{7}{x-3}=u e assim x\ln(1+7/(x-3)) = (x/(x-3))\cdot 7\cdot (\ln(1+u)/u). Esta fatoração separa três fatores cujo limite podemos analisar individualmente.

Passo 5

Calcular os limites dos fatores separados:
  • Primeiro fator: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{x-3}=1, porque os termos de maior ordem no numerador e denominador são ambos x.
  • Segundo fator: é simplesmente 7.
  • Terceiro fator: \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Explicação didática dessa igualdade: trata-se de um limite clássico; pode-se aplicar a regra de L’Hôpital (porque numerador e denominador vão a 0) e obter
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=\lim_{u\to0}\frac{1/(1+u)}{1}=\frac{1}{1+0}=1.
Também pode ser visto pela série de Taylor \ln(1+u)=u+o(u), que dá o mesmo resultado.
Multiplicando os limites dos fatores (produto de limites quando cada limite existe e é finito) obtemos
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{7}{x-3}\right)=1\cdot 7\cdot 1=7.

Passo 6

Voltando ao limite original usando a exponencial: como vimos, se
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(\frac{x+4}{x-3}\right)=7,
então
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x+4}{x-3}\right)^{x} =\exp(7)=e^{7}.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: a expressão que parecia dar o indeterminado 1^{\infty} converge para uma potência de e. Esse tipo de técnica (log-transformação + uso de \lim \ln(1+u)/u=1) é muito prática e aparece com frequência em provas — treine reconhecer a forma e aplicar exatamente esses passos. Vai dar certo na prova, respira fundo e confia no processo!

Resposta

e^{7}

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