Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão é uma potência com base
e expoente . - Quando
a base tende a porque os termos de maior ordem em numerador e denominador são ambos . - O expoente tende a
. - Portanto temos uma forma indeterminada do tipo
. O objetivo é resolver essa indeterminação e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Estratégia (explicada passo a passo): para limites do tipo
é comum tomar o logaritmo natural da expressão, transformar o problema em um limite do tipo “algo” e depois voltar com a exponencial. Mais precisamente, se definirmos
e se o limite de
da expressão existir e for finito, então podemos escrever
pois a função
é contínua e transforma o limite do log de volta no limite original. Vamos então calcular o limite
Passo 3
Simplificar a expressão dentro do logaritmo: manipule a fração para deixá-la na forma
(algo pequeno).
Logo
Passo 4
Fazer uma reescrita útil introduzindo
. Observe que quando
temos
. Reescrevendo o produto:
porque
e assim
. Esta fatoração separa três fatores cujo limite podemos analisar individualmente.
Passo 5
Calcular os limites dos fatores separados:
- Primeiro fator:
, porque os termos de maior ordem no numerador e denominador são ambos . - Segundo fator: é simplesmente
. - Terceiro fator:
. Explicação didática dessa igualdade: trata-se de um limite clássico; pode-se aplicar a regra de L’Hôpital (porque numerador e denominador vão a ) e obter
Também pode ser visto pela série de Taylor
, que dá o mesmo resultado.
Multiplicando os limites dos fatores (produto de limites quando cada limite existe e é finito) obtemos
Passo 6
Voltando ao limite original usando a exponencial: como vimos, se
então
Passo 7
Interpretação final e incentivo: a expressão que parecia dar o indeterminado
converge para uma potência de
. Esse tipo de técnica (log-transformação + uso de
) é muito prática e aparece com frequência em provas — treine reconhecer a forma e aplicar exatamente esses passos. Vai dar certo na prova, respira fundo e confia no processo!