Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\text { senax-senbx }}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(ax)-\sin(bx)}{x}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é x.
  • a e b são constantes (assumir números reais).
  • O que se quer é o valor numérico desse limite em função de a e b.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão de forma a usar um limite fundamental bem conhecido: \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Antes disso, farei uma manipulação algébrica simples para separar os termos dependentes de a e de b.

Passo 3

Separe a diferença em duas frações:
\frac{\sin(ax)-\sin(bx)}{x}=\frac{\sin(ax)}{x}-\frac{\sin(bx)}{x}.

Passo 4

Transforme cada fração para que apareça a razão do tipo \dfrac{\sin(\cdot)}{\cdot}. Note que
\frac{\sin(ax)}{x} = a\cdot\frac{\sin(ax)}{ax}, \qquad \frac{\sin(bx)}{x} = b\cdot\frac{\sin(bx)}{bx}.
Portanto
\frac{\sin(ax)-\sin(bx)}{x} = a\cdot\frac{\sin(ax)}{ax} - b\cdot\frac{\sin(bx)}{bx}.

Passo 5

Agora usamos propriedades de limites: a soma/diferença e o produto com constante preservam limites quando todos os limites existem. Assim
\lim_{x\to 0}\left(a\cdot\frac{\sin(ax)}{ax} - b\cdot\frac{\sin(bx)}{bx}\right) = a\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{ax} - b\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin(bx)}{bx}.

Passo 6

Aplicamos o limite fundamental \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1. Aqui basta fazer a mudança de variável t=ax (ou t=bx); quando x\to 0 também t\to 0. Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{ax}=1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin(bx)}{bx}=1.
Substituindo no Passo anterior obtemos
a\cdot 1 - b\cdot 1 = a-b.
(Comentário curto: alternativamente, esse limite é a derivada em zero da função x\mapsto \sin(ax)-\sin(bx), cujo valor também é a-b.)

Resposta

a-b

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