Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. -
e são constantes (assumir números reais). - O que se quer é o valor numérico desse limite em função de
e .
Passo 2
Vamos reescrever a expressão de forma a usar um limite fundamental bem conhecido:
. Antes disso, farei uma manipulação algébrica simples para separar os termos dependentes de
e de
.
Passo 3
Separe a diferença em duas frações:
Passo 4
Transforme cada fração para que apareça a razão do tipo
. Note que
Portanto
Passo 5
Agora usamos propriedades de limites: a soma/diferença e o produto com constante preservam limites quando todos os limites existem. Assim
Passo 6
Aplicamos o limite fundamental
. Aqui basta fazer a mudança de variável
(ou
); quando
também
. Logo
Substituindo no Passo anterior obtemos
(Comentário curto: alternativamente, esse limite é a derivada em zero da função
, cujo valor também é
.)