Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A expressão dentro da tangente é
. - Quando
, o argumento tende a . - A função
pode ser escrita como e só está definida onde .
Passo 2
Usar uma propriedade trigonométrica útil: as identidades de seno e cosseno para soma com
. Para qualquer ângulo
vale
Essas identidades decorrem das fórmulas de adição de ângulo e do fato de
,
.
Passo 3
A partir das identidades do passo anterior, vejamos a tangente:
Portanto a tangente tem período
e vale a identidade
Passo 4
Aplicando essa identidade com
obtemos
Logo o limite original se transforma em
Passo 5
Agora usamos continuidade:
. As funções
e
são contínuas em todo lugar; se
então
é contínua em
e vale a propriedade de substituição do limite. Verificamos que
portanto
é contínua em
e podemos substituir:
Passo 6
Calculemos
:
Logo o limite desejado é
.