Calcule:
\lim _{x \rightarrow \pi} \tan (x+\pi)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\pi}\tan(x+\pi).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • A expressão dentro da tangente é x+\pi.
  • Quando x\to\pi, o argumento x+\pi tende a \pi+\pi=2\pi.
  • A função \tan pode ser escrita como \tan t=\dfrac{\sin t}{\cos t} e só está definida onde \cos t\neq 0.

Passo 2

Usar uma propriedade trigonométrica útil: as identidades de seno e cosseno para soma com \pi. Para qualquer ângulo \theta vale
\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta, \qquad \cos(\theta+\pi)=-\cos\theta.
Essas identidades decorrem das fórmulas de adição de ângulo e do fato de \sin\pi=0, \cos\pi=-1.

Passo 3

A partir das identidades do passo anterior, vejamos a tangente:
\tan(\theta+\pi)=\frac{\sin(\theta+\pi)}{\cos(\theta+\pi)} =\frac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta.
Portanto a tangente tem período \pi e vale a identidade
\tan(\theta+\pi)=\tan\theta\quad\text{para todo }\theta\text{ onde a tangente é definida.}é

Passo 4

Aplicando essa identidade com \theta=x obtemos
\tan(x+\pi)=\tan x.
Logo o limite original se transforma em
\lim_{x\to\pi}\tan(x+\pi)=\lim_{x\to\pi}\tan x.

Passo 5

Agora usamos continuidade: \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. As funções \sin x e \cos x são contínuas em todo lugar; se \cos a\neq 0 então \tan x é contínua em x=a e vale a propriedade de substituição do limite. Verificamos que
\cos(\pi)=-1\neq 0,
portanto \tan x é contínua em x=\pi e podemos substituir:
\lim_{x\to\pi}\tan x=\tan(\pi).

Passo 6

Calculemos \tan(\pi):
\tan(\pi)=\frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)}=\frac{0}{-1}=0.
Logo o limite desejado é 0.

Resposta

0

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