Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^{2}-7 x+5}{-x^{2}+2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 3^{-}} \frac{x^{2}-7x+5}{-x^{2}+2x+3}.
Informações dadas e pontos relevantes:
  • A expressão é a razão entre o numerador x^{2}-7x+5 e o denominador -x^{2}+2x+3.
  • O limite é unidirecional: x tende a 3 pela esquerda (isto é, x<3 e se aproxima de 3).
  • É importante verificar o comportamento do numerador e do denominador quando x se aproxima de 3.

Passo 2

Avaliar os valores no ponto x=3 (isso não é o valor do limite, apenas informação):
\text{Numerador em }x=3:\quad 3^{2}-7\cdot3+5 = 9-21+5 = -7.
\text{Denominador em }x=3:\quad -3^{2}+2\cdot3+3 = -9+6+3 = 0.
Conclusão: ao aproximar x\to3 o numerador tende a -7 (um número finito e diferente de zero) e o denominador tende a 0. Isso indica que o limite pode divergir para +\infty ou -\infty; precisamos analisar o sinal do quociente quando x aproxima 3 pela esquerda.

Passo 3

Fatorar o denominador para facilitar a análise do sinal:
-x^{2}+2x+3 = -(x^{2}-2x-3).
Calcular raízes de x^{2}-2x-3:
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1).
Portanto
-x^{2}+2x+3 = -(x-3)(x+1) = (3-x)(x+1).

Passo 4

Reescrever a expressão usando a fatoração encontrada:
\frac{x^{2}-7x+5}{-x^{2}+2x+3} = \frac{x^{2}-7x+5}{(3-x)(x+1)}.
Observação: o numerador x^{2}-7x+5 é contínuo em x=3, então quando x\to3 o numerador tende para -7 (conforme calculado no Passo 2).

Passo 5

Analisar o sinal do denominador para x próximo de 3 vindo da esquerda ( x\to3^{-}):
  • Para x próximo de 3 e menor que 3, tem-se 3-x>0 (pequeno e positivo).
  • Para x próximo de 3, x+1 é próximo de 4, logo x+1>0.
    Assim o produto (3-x)(x+1) é positivo quando x\to3^{-}. Ou seja, o denominador tende a 0 por valores positivos.

Passo 6

Combinar as informações de sinais:
  • Numerador tende a -7 (negativo e com módulo finito).
  • Denominador tende a 0 por valores positivos (pequenos).
    Logo o quociente tende a um número negativo de módulo muito grande, isto é, tende para -\infty.
Racionalização do raciocínio: quando o numerador tende a um número diferente de zero e o denominador tende a zero com sinal conhecido, a função diverge para +\infty ou -\infty conforme o sinal do quociente; aqui o sinal é negativo, portanto -\infty.

Resposta

-\infty

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