Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e pontos relevantes:
- A expressão é a razão entre o numerador
e o denominador . - O limite é unidirecional:
tende a pela esquerda (isto é, e se aproxima de ). - É importante verificar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de .
Passo 2
Avaliar os valores no ponto
(isso não é o valor do limite, apenas informação):
Conclusão: ao aproximar
o numerador tende a
(um número finito e diferente de zero) e o denominador tende a
. Isso indica que o limite pode divergir para
ou
; precisamos analisar o sinal do quociente quando
aproxima
pela esquerda.
Passo 3
Fatorar o denominador para facilitar a análise do sinal:
Calcular raízes de
:
Portanto
Passo 4
Reescrever a expressão usando a fatoração encontrada:
Observação: o numerador
é contínuo em
, então quando
o numerador tende para
(conforme calculado no Passo 2).
Passo 5
Analisar o sinal do denominador para
próximo de
vindo da esquerda (
):
- Para
próximo de e menor que , tem-se (pequeno e positivo). - Para
próximo de , é próximo de , logo .
Assim o produtoé positivo quando . Ou seja, o denominador tende a por valores positivos.
Passo 6
Combinar as informações de sinais:
- Numerador tende a
(negativo e com módulo finito). - Denominador tende a
por valores positivos (pequenos).
Logo o quociente tende a um número negativo de módulo muito grande, isto é, tende para.
Racionalização do raciocínio: quando o numerador tende a um número diferente de zero e o denominador tende a zero com sinal conhecido, a função diverge para
ou
conforme o sinal do quociente; aqui o sinal é negativo, portanto
.