Calcule:
\lim _{x \rightarrow \pi / 2} \tan (x-\pi)

Passo 1

O enunciado dá a função \tan(x-\pi) e pede o valor do limite quando x tende para \pi/2:
  • Queremos \displaystyle\lim_{x\to\pi/2}\tan(x-\pi).
Informações relevantes do enunciado:
  • A expressão trigonométrica é \tan(x-\pi).
  • O ponto de interesse é x=\pi/2.

Passo 2

Usar uma identidade trigonométrica simples para simplificar a expressão. Lembrar que a tangente tem período \pi, o que se prova assim:
\tan(\theta+\pi)=\frac{\sin(\theta+\pi)}{\cos(\theta+\pi)}=\frac{-\sin\theta}{-\cos\theta}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta.
Aplicando isso com \theta=x obtemos
\tan(x-\pi)=\tan\big(x+(-\pi)\big)=\tan x.
Portanto o limite pedido é igual a
\lim_{x\to\pi/2}\tan(x-\pi)=\lim_{x\to\pi/2}\tan x.

Passo 3

Expressar a tangente como razão de seno por cosseno para analisar o comportamento perto de \pi/2:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Ao aproximar x de \pi/2, sabe-se que \sin x\to 1 (porque \sin(\pi/2)=1), enquanto \cos x\to 0. O sinal de \cos x ao se aproximar de \pi/2 por esquerda ou por direita é crucial para determinar o limite.

Passo 4

Analisar o limite pela esquerda ( x\to\pi/2^-). Tome x=\pi/2-\epsilon com \epsilon>0 pequeno. Usando aproximações para pequenos \epsilon:
\sin\big(\tfrac{\pi}{2}-\epsilon\big)=\cos\epsilon\approx 1, \qquad \cos\big(\tfrac{\pi}{2}-\epsilon\big)=\sin\epsilon\approx \epsilon>0.
Assim, para x\to\pi/2^- temos \sin x próximo de 1 e \cos x próximo de 0 por valores positivos, então
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\to \frac{1}{0^+}=+\infty.
Logo
\lim_{x\to\pi/2^-}\tan x=+\infty.

Passo 5

Analisar o limite pela direita ( x\to\pi/2^+). Tome x=\pi/2+\epsilon com \epsilon>0 pequeno. Então
\sin\big(\tfrac{\pi}{2}+\epsilon\big)=\cos\epsilon\approx 1, \qquad \cos\big(\tfrac{\pi}{2}+\epsilon\big)=-\sin\epsilon\approx -\epsilon<0.
Agora \sin x está próximo de 1 e \cos x próximo de 0 por valores negativos, logo
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\to \frac{1}{0^-}=-\infty.
Portanto
\lim_{x\to\pi/2^+}\tan x=-\infty.

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes (um é +\infty e o outro é -\infty), o limite bilateral não existe como número finito. Pode-se resumir:
  • limite pela esquerda: +\infty;
  • limite pela direita: -\infty;
  • limite bilateral: não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to\pi/2^-}\tan(x-\pi)=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to\pi/2^+}\tan(x-\pi)=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to\pi/2}\tan(x-\pi) não existe.

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