Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor do limite quando
tende para
:
- Queremos
.
Informações relevantes do enunciado:
- A expressão trigonométrica é
. - O ponto de interesse é
.
Passo 2
Usar uma identidade trigonométrica simples para simplificar a expressão. Lembrar que a tangente tem período
, o que se prova assim:
Aplicando isso com
obtemos
Portanto o limite pedido é igual a
Passo 3
Expressar a tangente como razão de seno por cosseno para analisar o comportamento perto de
:
Ao aproximar
de
, sabe-se que
(porque
), enquanto
. O sinal de
ao se aproximar de
por esquerda ou por direita é crucial para determinar o limite.
Passo 4
Analisar o limite pela esquerda (
). Tome
com
pequeno. Usando aproximações para pequenos
:
Assim, para
temos
próximo de
e
próximo de
por valores positivos, então
Logo
Passo 5
Analisar o limite pela direita (
). Tome
com
pequeno. Então
Agora
está próximo de
e
próximo de
por valores negativos, logo
Portanto
Passo 6
Como os limites laterais são diferentes (um é
e o outro é
), o limite bilateral não existe como número finito. Pode-se resumir:
- limite pela esquerda:
; - limite pela direita:
; - limite bilateral: não existe.