Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}(0,6)^{1 / x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(0,6\right)^{1/x^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A base é \,0,6, que é positiva e menor que 1.
  • O expoente é \dfrac{1}{x^{2}}.
  • A variável tende para 0, isto é x\to 0. Note que, quando x\to 0, tem-se \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty.

Passo 2

Estratégia (ferramenta que vamos usar): para potências com base positiva é conveniente usar a função exponencial com logaritmo natural. A identidade é
a^{b} = \exp\!\big(b\ln a\big),
válida sempre que a>0. Aqui a=\,0,6 e b=\dfrac{1}{x^{2}}. Vou aplicar essa transformação porque transforma a potência em uma exponencial cuja base e é contínua e fácil de analisar quando o expoente tende a \pm\infty.

Passo 3

Aplicando a identidade, reescrevemos a expressão do limite como
\left(0,6\right)^{1/x^{2}}=\exp\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\ln(0,6)\right).
Explicando cada símbolo:
  • \ln(0,6) é o logaritmo natural de 0,6.
  • \dfrac{1}{x^{2}} é o expoente que tende a +\infty quando x\to 0.
    Importante: como 0,6<1, temos \ln(0,6)<0 (porque \ln é crescente e \ln(1)=0).

Passo 4

Analisando o expoente da exponencial:
\dfrac{1}{x^{2}}\ln(0,6).
Aqui \dfrac{1}{x^{2}}\to +\infty e \ln(0,6) é uma constante negativa. O produto de +\infty por uma constante negativa tende a -\infty. Portanto
\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}}\ln(0,6) = -\infty.

Passo 5

Como a função \exp é contínua e satisfaz \exp(t)\to 0 quando t\to -\infty, temos
\lim_{x\to 0}\exp\!\left(\dfrac{1}{x^{2}}\ln(0,6)\right)=\exp\!\left(\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^{2}}\ln(0,6)\right)=\exp(-\infty)=0.
Intuição rápida: elevar 0,6 (um número menor que 1) a potências cada vez maiores produz números cada vez menores, tendingo a zero quando a potência vai para +\infty.

Resposta

0

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