Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A base é
, que é positiva e menor que . - O expoente é
. - A variável tende para
, isto é . Note que, quando , tem-se .
Passo 2
Estratégia (ferramenta que vamos usar): para potências com base positiva é conveniente usar a função exponencial com logaritmo natural. A identidade é
válida sempre que
. Aqui
e
. Vou aplicar essa transformação porque transforma a potência em uma exponencial cuja base
é contínua e fácil de analisar quando o expoente tende a
.
Passo 3
Aplicando a identidade, reescrevemos a expressão do limite como
Explicando cada símbolo:
-
é o logaritmo natural de . -
é o expoente que tende a quando .
Importante: como, temos (porque é crescente e ).
Passo 4
Analisando o expoente da exponencial:
Aqui
e
é uma constante negativa. O produto de
por uma constante negativa tende a
. Portanto
Passo 5
Como a função
é contínua e satisfaz
quando
, temos
Intuição rápida: elevar
(um número menor que
) a potências cada vez maiores produz números cada vez menores, tendingo a zero quando a potência vai para
.
Resposta
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