Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2} 5^{\frac{1}{x+3}}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • O enunciado pede o limite
\lim_{x\to-2} 5^{\frac{1}{x+3}}.
  • A expressão tem uma base fixa 5 e um expoente que depende de x, dado por \dfrac{1}{x+3}.
  • Observação importante sobre domínio: a expressão \dfrac{1}{x+3} não está definida em x=-3. Como o ponto de interesse é x=-2, essa singularidade (em x=-3) não afeta a vizinhança de x=-2.
  • O que é pedido: encontrar o valor numérico do limite quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Entendendo a estratégia (no nível conceitual, sem calcular ainda).
  • Quando temos uma função composta f(g(x)), e conhecemos o limite de g(x) quando x tende a um ponto, se f for contínua nesse valor-limite então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\!\big(\lim_{x\to a} g(x)\big).
  • Aqui f(t)=5^{t} e g(x)=\dfrac{1}{x+3}. A ideia será: calcular primeiro \lim_{x\to-2} g(x) e depois usar continuidade de f para obter o limite desejado.

Passo 3

Calcular o limite do expoente \dfrac{1}{x+3} quando x\to-2.
  • Temos
\lim_{x\to-2} \frac{1}{x+3}.
  • Como x+3 é uma função polinomial (continua) e em x=-2 tem valor -2+3=1\neq0, podemos simplesmente avaliar:
\lim_{x\to-2} \frac{1}{x+3} = \frac{1}{-2+3} = \frac{1}{1} = 1.

Passo 4

Explicar por que f(t)=5^{t} é contínua (assim podemos substituir o limite do expoente dentro de f).
  • Uma forma clara de ver a continuidade de 5^{t} é escrever
5^{t} = e^{t\ln 5},
onde \ln 5 é apenas uma constante real ( \ln 5\approx1{,}609\ldots).
  • A função t\mapsto t\ln 5 é linear e, portanto, contínua em todo \mathbb{R}. A função exponencial u\mapsto e^{u} é contínua em todo \mathbb{R}. A composição de funções contínuas é contínua. Logo t\mapsto e^{t\ln 5}=5^{t} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Portanto, é válido usar
\lim_{x\to-2} 5^{\frac{1}{x+3}} = 5^{\lim_{x\to-2} \frac{1}{x+3}}.

Passo 5

Aplicar a continuidade e concluir o cálculo do limite.
  • Do Passo 3 temos \lim_{x\to-2}\dfrac{1}{x+3}=1.
  • Pela continuidade de t\mapsto5^{t} (Passo 4),
\lim_{x\to-2} 5^{\frac{1}{x+3}} = 5^{1} = 5.

Resposta

5

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