Calcule:
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
- O enunciado pede o limite
- A expressão tem uma base fixa
e um expoente que depende de , dado por . - Observação importante sobre domínio: a expressão
não está definida em . Como o ponto de interesse é , essa singularidade (em ) não afeta a vizinhança de . - O que é pedido: encontrar o valor numérico do limite quando
se aproxima de .
Passo 2
Entendendo a estratégia (no nível conceitual, sem calcular ainda).
- Quando temos uma função composta
, e conhecemos o limite de quando tende a um ponto, se for contínua nesse valor-limite então
- Aqui
e . A ideia será: calcular primeiro e depois usar continuidade de para obter o limite desejado.
Passo 3
Calcular o limite do expoente
quando
.
- Temos
- Como
é uma função polinomial (continua) e em tem valor , podemos simplesmente avaliar:
Passo 4
Explicar por que
é contínua (assim podemos substituir o limite do expoente dentro de
).
- Uma forma clara de ver a continuidade de
é escrever
onde
é apenas uma constante real (
).
- A função
é linear e, portanto, contínua em todo . A função exponencial é contínua em todo . A composição de funções contínuas é contínua. Logo é contínua em todo . - Portanto, é válido usar
Passo 5
Aplicar a continuidade e concluir o cálculo do limite.
- Do Passo 3 temos
. - Pela continuidade de
(Passo 4),