Calcule:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt{x+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \sqrt{x+1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é \sqrt{x+1}.
  • O objetivo é estudar o comportamento dessa função quando x tende para -\infty (isto é, quando x fica arbitrariamente negativo).

Passo 2

Entender onde a função está definida (domínio) é crucial antes de falar em limite. Para a raiz quadrada real \sqrt{\cdot} o radicando precisa ser não negativo. Portanto impõe-se a condição
x+1 \ge 0.
Resolvendo isso,
x \ge -1.
Logo o domínio da função real f(x)=\sqrt{x+1} é [ -1,\infty ). Ou seja, para valores de x menores que -1 a expressão \sqrt{x+1} não está definida no conjunto dos números reais.

Passo 3

Explicar o que significa \lim_{x\to -\infty} f(x) no caso real: dizer que \lim_{x\to -\infty} f(x)=L significa que, à medida que tomamos valores de x cada vez mais negativos (tendendo a -\infty), os valores f(x) se aproximam de um número L. Em termos formais, uma maneira comum de definir isso é: para toda sequência (x_n) de números reais tal que x_n\to -\infty e x_n esteja no domínio da função para todo n, a sequência f(x_n) deve convergir para L.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso: o domínio de f é [ -1,\infty ). Não existem valores de x no domínio que sejam arbitrariamente negativos — não há x menores que -1 onde a função esteja definida. Em particular, não há nenhuma sequência (x_n) com x_n\to -\infty tal que todos os x_n pertençam ao domínio de f. Portanto não faz sentido (no contexto de limites reais) falar no comportamento de \sqrt{x+1} quando x vai para -\infty: a função simplesmente não está definida nessa direção.

Passo 5

Conclusão e observação prática: como a função não tem valores para x<-1, não existe um comportamento real da função quando x\to -\infty. Em problemas de prova, o procedimento correto é verificar o domínio primeiro; aqui essa verificação já elimina a possibilidade de limite real em -\infty. (Se alguém estender a função ao campo complexo, o problema muda de natureza e precisa ser tratado com funções complexas — mas isso não é pedido nem usual em provas de cálculo básico.)

Resposta

Não existe (a função não está definida para x<-1, logo não há limite real quando x\to -\infty).

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