Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(2-5 x)^{\frac{1}{x}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^-} (2-5x)^{\frac{1}{x}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é f(x)=(2-5x)^{1/x}.
  • A aproximação é feita por x vindo da esquerda de 0 (ou seja, x\to0^-).
  • Quando x\to0 temos 2-5x\to2 (a base tende a 2).
  • Quando x\to0^- temos \dfrac{1}{x}\to -\infty (o expoente tende a -\infty).

Passo 2

Estratégia que vamos usar (explicação didática):
  • Para limites que envolvem uma variável no expoente, é muito útil aplicar a função logarítmica natural porque transforma potência em produto. Ou seja, se y=(2-5x)^{1/x}, então \ln y=\dfrac{1}{x}\ln(2-5x).
  • Se conseguirmos calcular L=\lim_{x\to0^-}\ln y (esse limite pode ser um número finito ou \pm\infty), então o limite original é
\lim_{x\to0^-} y = \lim_{x\to0^-} e^{\ln y} = e^{L}.
Explicação do porquê: a função exponencial e^t é contínua, então o limite do exponencial é o exponencial do limite (quando este existe como número real ou \pm\infty no sentido apropriado).

Passo 3

Definimos
y(x)=(2-5x)^{\frac{1}{x}}\qquad\Rightarrow\qquad \ln y(x)=\frac{1}{x}\ln(2-5x).
Vamos estudar o limite
S=\lim_{x\to0^-}\frac{\ln(2-5x)}{x},
porque então o limite pedido será e^{S} (se S for finito ou \pm\infty).

Passo 4

Análise do numerador \ln(2-5x) quando x é pequeno:
  • Escrevemos
\ln(2-5x)=\ln 2 + \ln\!\left(1 - \frac{5}{2}x\right),
pois 2-5x=2\left(1-\dfrac{5}{2}x\right).
  • Para argumentos pequenos u vale a aproximação \ln(1+u)=u+o(u) quando u\to0. Aqui u=-\dfrac{5}{2}x, que tende a 0 quando x\to0. Assim
\ln\!\left(1-\frac{5}{2}x\right) = -\frac{5}{2}x + o(x).
  • Substituindo,
\ln(2-5x)=\ln 2 -\frac{5}{2}x + o(x).

Passo 5

Agora dividimos por x:
\frac{\ln(2-5x)}{x}=\frac{\ln 2}{x} -\frac{5}{2} + \frac{o(x)}{x}.
Quando x\to0^- temos:
  • \dfrac{\ln 2}{x} tende a -\infty, porque \ln 2>0 e x aproxima-se de 0 por valores negativos (positivo dividido por número negativo pequeno dá -\infty).
  • -\dfrac{5}{2} é um termo finito.
  • \dfrac{o(x)}{x}\to0.
Portanto a soma tende a -\infty. Logo
S=\lim_{x\to0^-}\frac{\ln(2-5x)}{x}=-\infty.

Passo 6

Voltando para a função original: como \ln y(x)\to -\infty quando x\to0^-, segue que
y(x)=(2-5x)^{1/x}=e^{\ln y(x)} \longrightarrow e^{-\infty}=0.
Intuição rápida (sem série): a base fica próxima de 2>1 e o expoente vai para -\infty, então a potência tende a 0.

Resposta

0

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