Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - A aproximação é feita por
vindo da esquerda de (ou seja, ). - Quando
temos (a base tende a ). - Quando
temos (o expoente tende a ).
Passo 2
Estratégia que vamos usar (explicação didática):
- Para limites que envolvem uma variável no expoente, é muito útil aplicar a função logarítmica natural porque transforma potência em produto. Ou seja, se
, então . - Se conseguirmos calcular
(esse limite pode ser um número finito ou ), então o limite original é
Explicação do porquê: a função exponencial
é contínua, então o limite do exponencial é o exponencial do limite (quando este existe como número real ou
no sentido apropriado).
Passo 3
Definimos
Vamos estudar o limite
porque então o limite pedido será
(se
for finito ou
).
Passo 4
Análise do numerador
quando
é pequeno:
- Escrevemos
pois
.
- Para argumentos pequenos
vale a aproximação quando . Aqui , que tende a quando . Assim
- Substituindo,
Passo 5
Agora dividimos por
:
Quando
temos:
-
tende a , porque e aproxima-se de por valores negativos (positivo dividido por número negativo pequeno dá ). -
é um termo finito. -
.
Portanto a soma tende a
. Logo
Passo 6
Voltando para a função original: como
quando
, segue que
Intuição rápida (sem série): a base fica próxima de
e o expoente vai para
, então a potência tende a
.