Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(2-5 x)^{\frac{1}{x}}\

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}}(2-5x)^{\frac{1}{x}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável que varia é x e a aproximação é por valores positivos, isto é x\to 0^{+}.
  • A base da potência é 2-5x. Quando x\to 0^{+}, essa base tende a 2.
  • O expoente é \dfrac{1}{x}. Quando x\to 0^{+}, esse expoente tende a +\infty.
  • O que se quer é o comportamento da expressão inteira quando x se aproxima de zero pela direita.

Passo 2

Vamos transformar a expressão usando o logaritmo natural para lidar com a potência de modo mais simples. Defina
y=(2-5x)^{\frac{1}{x}}.
Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
\ln y=\frac{1}{x}\ln(2-5x).
A vantagem: o expoente vira um fator multiplicativo, o que facilita estudar o limite. Observação importante: a função \ln é contínua e estritamente crescente, então entender \lim \ln y nos permite concluir sobre \lim y.

Passo 3

Calcular o limite de \ln y:
\lim_{x\to 0^{+}}\ln y=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(2-5x)}{x}.
Reescrevemos \ln(2-5x) isolando \ln 2:
\ln(2-5x)=\ln 2+\ln\!\left(1-\frac{5x}{2}\right).
Assim
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(2-5x)}{x} = \lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{\ln 2}{x}+\frac{\ln\!\left(1-\frac{5x}{2}\right)}{x}\right).

Passo 4

Analisa-se termo a termo. Primeiro termo:
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln 2}{x}=+\infty,
pois \ln 2>0 e x tende a 0 por valores positivos, logo o quociente cresce sem limite para +\infty.

Passo 5

Segundo termo:
use o limite conhecido
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Faça a troca u=-\dfrac{5x}{2}. Quando x\to 0^{+} temos u\to 0. Então
\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln\!\left(1-\frac{5x}{2}\right)}{x} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+u)}{x} = \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot\frac{u}{x} =1\cdot\left(-\frac{5}{2}\right)=-\frac{5}{2}.

Passo 6

Juntando os dois termos:
\lim_{x\to 0^{+}}\ln y = +\infty + \left(-\frac{5}{2}\right)=+\infty.
Portanto \ln y\to +\infty. Como a exponencial é crescente, isso implica
y=(2-5x)^{\frac{1}{x}}\to +\infty.

Passo 7

Comentário rápido e intuitivo: para x pequeno e positivo, 2-5x>1 e o expoente 1/x é muito grande e positivo, então elevar uma base maior que 1 a uma potência que cresce sem limite produz um resultado que explode para +\infty.

Resposta

+\infty

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