Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável que varia é
e a aproximação é por valores positivos, isto é . - A base da potência é
. Quando , essa base tende a . - O expoente é
. Quando , esse expoente tende a . - O que se quer é o comportamento da expressão inteira quando
se aproxima de zero pela direita.
Passo 2
Vamos transformar a expressão usando o logaritmo natural para lidar com a potência de modo mais simples. Defina
Tomando logaritmo natural em ambos os lados obtemos
A vantagem: o expoente vira um fator multiplicativo, o que facilita estudar o limite. Observação importante: a função
é contínua e estritamente crescente, então entender
nos permite concluir sobre
.
Passo 3
Calcular o limite de
:
Reescrevemos
isolando
:
Assim
Passo 4
Analisa-se termo a termo. Primeiro termo:
pois
e
tende a
por valores positivos, logo o quociente cresce sem limite para
.
Passo 5
Segundo termo:
use o limite conhecido
use o limite conhecido
Faça a troca
. Quando
temos
. Então
Passo 6
Juntando os dois termos:
Portanto
. Como a exponencial é crescente, isso implica
Passo 7
Comentário rápido e intuitivo: para
pequeno e positivo,
e o expoente
é muito grande e positivo, então elevar uma base maior que
a uma potência que cresce sem limite produz um resultado que explode para
.