Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} x^{2} . \operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{x}\right), pelo teorema do confronto.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\rightarrow 0} x^{2}\cdot \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{x}\bigr)
usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche). Para isso, vamos precisar da propriedade de que a função seno é limitada entre -1 e 1.

Passo 2

Para todo x\neq 0 vale
-1 \le \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{x}\bigr) \le 1.

Passo 3

Como x^{2}\ge 0, multiplicamos essa desigualdade por x^{2} e obtemos
-\,x^{2} \;\le\; x^{2}\cdot \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{x}\bigr)\;\le\; x^{2}.

Passo 4

Calculamos os limites das funções que confrontam:
\lim_{x\to 0}(-x^{2}) = 0,
\lim_{x\to 0}x^{2} = 0.
Como ambas convergem para o mesmo valor, pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\rightarrow 0} x^{2}\cdot \sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{x}\bigr) = 0.

Resposta

0

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