Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} x^{3} \cdot \cos \left(\frac{4 \pi}{x}\right), pelo teorema do confronto.

Passo 1

O enunciado pede
calcular
\lim_{x\to0} x^{3}\cos\bigl(\tfrac{4\pi}{x}\bigr)
usando o teorema do confronto.
Vamos precisar do fato de que \cos(t) é sempre entre -1 e 1 e da propriedade de limites de funções que “convergem a zero” quando multiplicadas por algo que também vai a zero.

Passo 2

Sabemos que, para todo t,
-1 \le \cos(t) \le 1.
Multiplicando essa desigualdade por x^3 e usando valor absoluto para não nos preocuparmos com o sinal de x, obtemos
-|x^3| \;\le\; x^3\cos\bigl(\tfrac{4\pi}{x}\bigr)\;\le\; |x^3|.

Passo 3

Como
\lim_{x\to0} -|x^3| = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0} |x^3| = 0,
o teorema do confronto garante que
\lim_{x\to0} x^3\cos\bigl(\tfrac{4\pi}{x}\bigr) = 0.

Resposta

0

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