Calcule.
(4) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dado o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right).
  • Pergunta: calcular esse limite quando x tende para +\infty.
  • Informação útil extraída do enunciado: a variável x cresce sem limite no sentido positivo (vai para +\infty) e a expressão é a diferença entre a constante 2 e a função \dfrac{1}{x}.

Passo 2

Fórmulas e ideias que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra de soma/subtração de limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem e são finitos, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=L\pm M.
  • Limite de constante: para qualquer constante c,
\lim_{x\to a} c = c.
  • Portanto, para calcular \lim_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{1}{x}\right) basta conhecer \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} e subtrair esse valor de 2.

Passo 3

Mostrar que \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 (explicação rigorosa e intuitiva):
  • Intuição rápida: quando x fica muito grande, 1/x fica muito pequeno, tendendo a zero. Ex.: 1/10=0,1, 1/100=0,01, etc.
  • Prova com definição (epsilon–N): seja \varepsilon>0. Escolha N=\dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo x>N (em particular para x suficientemente grande, já que estamos indo a +\infty) vale
\left|\frac{1}{x}-0\right|=\frac{1}{x}<\frac{1}{N}=\varepsilon.
Isso mostra exatamente que \dfrac{1}{x} pode ser feito arbitrariamente pequeno quando x é suficientemente grande, logo
\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.

Passo 4

Aplicar as regras de limite para a expressão completa:
  • Pelo item anterior \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
  • E a constante tem limite igual a si mesma:
\lim_{x\to+\infty}2=2.
  • Usando a regra de soma/subtração de limites,
\lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right)=2-0=2.

Passo 5

Ilustração numérica rápida (para fixar a intuição):
  • Se x=10, 2-\dfrac{1}{x}=2-0,1=1,9.
  • Se x=100, 2-\dfrac{1}{x}=2-0,01=1,99.
  • Se x=1000, 2-\dfrac{1}{x}=1,999.
    Isso mostra os valores se aproximando de 2 conforme x cresce.

Resposta

2

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