É dado o limite \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\left(2-\frac{1}{x}\right).
Pergunta: calcular esse limite quando x tende para +\infty.
Informação útil extraída do enunciado: a variável x cresce sem limite no sentido positivo (vai para +\infty) e a expressão é a diferença entre a constante 2 e a função \dfrac{1}{x}.
Passo 2
Fórmulas e ideias que vamos usar (explicadas de forma simples):
Regra de soma/subtração de limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M existem e são finitos, então
\lim_{x\to a}\big(f(x)\pm g(x)\big)=L\pm M.
Limite de constante: para qualquer constante c,
\lim_{x\to a} c = c.
Portanto, para calcular \lim_{x\to+\infty}\left(2-\dfrac{1}{x}\right) basta conhecer \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x} e subtrair esse valor de 2.
Passo 3
Mostrar que \displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0 (explicação rigorosa e intuitiva):
Intuição rápida: quando x fica muito grande, 1/x fica muito pequeno, tendendo a zero. Ex.: 1/10=0,1, 1/100=0,01, etc.
Prova com definição (epsilon–N): seja \varepsilon>0. Escolha N=\dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo x>N (em particular para x suficientemente grande, já que estamos indo a +\infty) vale