Calcule.
(17) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to+\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right).
Informações dadas:
  • A variável x tende para +\infty.
  • A expressão é x-\sqrt{x^{2}+1}.

Passo 2

Observação sobre a forma indeterminada: ao fazermos uma avaliação ingênua, temos x\to+\infty e \sqrt{x^{2}+1}\to+\infty, então a expressão está no tipo \infty-\infty, que é indeterminado. Precisamos manipular algebricamente para obter uma forma que permita calcular o limite.

Passo 3

Técnica útil: racionalizar usando o conjugado. Multiplica-se numerador e denominador por x+\sqrt{x^{2}+1} (isso é legítimo porque para x>0 o denominador não é zero). Assim:
x-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)}{x+\sqrt{x^{2}+1}} = \frac{x^{2}-\bigl(x^{2}+1\bigr)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 4

Simplificando o numerador:
x^{2}-\bigl(x^{2}+1\bigr)= -1,
logo a expressão vira
x-\sqrt{x^{2}+1} = -\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 5

Agora calcule o limite da forma transformada. Quando x\to+\infty, temos x+\sqrt{x^{2}+1}\to+\infty. Portanto
-\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\to 0.
Uma justificativa por desigualdade (controle do valor absoluto): para x>0 tem \sqrt{x^{2}+1}>x, então
\biggl|-\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\biggr|=\frac{1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}<\frac{1}{2x},
e \frac{1}{2x}\to 0 quando x\to+\infty. Pelo princípio do confronto segue que o limite é 0.

Resposta

0

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