Calcule.
(30) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0^{+}} \frac{1}{\ln x}.
Informações relevantes dadas ou implícitas:
  • A função envolvida é x\mapsto \dfrac{1}{\ln x}.
  • O domínio do \ln é x>0; o limite é pela direita em 0, ou seja, aproximando x de 0 com valores positivos.
  • É útil saber o comportamento de \ln x quando x se aproxima de 0^{+}.

Passo 2

Entender o comportamento de \ln x perto de 0^{+}.
Fatos importantes sobre \ln x que vamos usar:
  • \ln 1 = 0.
  • Para 0<x<1, tem-se \ln x<0 (o logaritmo natural é negativo para números entre 0 e 1).
  • À medida que x se aproxima de 0^{+}, os valores de \ln x vão para -\infty.
Uma maneira clara de ver isso é fazer a substituição t=\ln x. Como x=e^{t}, quando x\to 0^{+} temos e^{t}\to 0^{+}, o que ocorre quando t\to -\infty. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}}\ln x = -\infty.

Passo 3

Reescrever o limite usando a substituição t=\ln x.
Com t=\ln x temos que, quando x\to 0^{+}, t\to -\infty. A expressão torna-se
\frac{1}{\ln x}=\frac{1}{t},
logo o limite original é equivalente a
\lim_{t\to -\infty}\frac{1}{t}.
Agora estudar \lim_{t\to -\infty}\dfrac{1}{t}. Intuitivamente, quando t é um número negativo de grande módulo, \dfrac{1}{t} é um número muito próximo de 0, mas negativo. Para tornar isso direto e rigoroso, faço uma pequena prova \varepsilon- N:
Seja \varepsilon>0. Escolha M=\dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo t tal que t<-M (ou seja, t suficientemente negativo), tem-se
\left|\frac{1}{t}\right|=\frac{1}{-t}<\frac{1}{M}=\varepsilon.
Portanto \dfrac{1}{t}\to 0 quando t\to -\infty. Observação sobre o sinal: para t negativo, \dfrac{1}{t} é negativo, logo a convergência é para 0 pela esquerda (valores negativos), mas o limite numérico é 0.

Passo 4

Interpretação final (resumindo pedagogicamente):
  • À medida que x se aproxima de 0^{+}, \ln x fica arbitrariamente negativo ( -\infty).
  • Tomando o inverso de um número que tende a -\infty resulta em algo que tende a 0 (e, neste caso, a partir de valores negativos).
  • Logo o limite pedido é 0.

Resposta

0

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