O domínio do \ln é x>0; o limite é pela direita em 0, ou seja, aproximando x de 0 com valores positivos.
É útil saber o comportamento de \ln x quando x se aproxima de 0^{+}.
Passo 2
Entender o comportamento de \ln x perto de 0^{+}.
Fatos importantes sobre \ln x que vamos usar:
\ln 1 = 0.
Para 0<x<1, tem-se \ln x<0 (o logaritmo natural é negativo para números entre 0 e 1).
À medida que x se aproxima de 0^{+}, os valores de \ln x vão para -\infty.
Uma maneira clara de ver isso é fazer a substituição t=\ln x. Como x=e^{t}, quando x\to 0^{+} temos e^{t}\to 0^{+}, o que ocorre quando t\to -\infty. Portanto
\lim_{x\to 0^{+}}\ln x = -\infty.
Passo 3
Reescrever o limite usando a substituição t=\ln x.
Com t=\ln x temos que, quando x\to 0^{+}, t\to -\infty. A expressão torna-se
\frac{1}{\ln x}=\frac{1}{t},
logo o limite original é equivalente a
\lim_{t\to -\infty}\frac{1}{t}.
Agora estudar \lim_{t\to -\infty}\dfrac{1}{t}. Intuitivamente, quando t é um número negativo de grande módulo, \dfrac{1}{t} é um número muito próximo de 0, mas negativo. Para tornar isso direto e rigoroso, faço uma pequena prova \varepsilon-N:
Seja \varepsilon>0. Escolha M=\dfrac{1}{\varepsilon}. Para todo t tal que t<-M (ou seja, t suficientemente negativo), tem-se
Portanto \dfrac{1}{t}\to 0 quando t\to -\infty. Observação sobre o sinal: para t negativo, \dfrac{1}{t} é negativo, logo a convergência é para 0 pela esquerda (valores negativos), mas o limite numérico é 0.
Passo 4
Interpretação final (resumindo pedagogicamente):
À medida que x se aproxima de 0^{+}, \ln x fica arbitrariamente negativo (-\infty).
Tomando o inverso de um número que tende a -\infty resulta em algo que tende a 0 (e, neste caso, a partir de valores negativos).