Calcule.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede calcular o limite
. - A expressão é o polinômio
. - O objetivo é saber o comportamento dessa função quando
cresce sem limite para .
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): em polinômios o termo de maior grau domina o comportamento para
grande. Aqui o termo de maior grau é
. Para tornar isso formal e ver direitinho, vou fatorar o maior potência de
, que é
.
Escrevendo a função fatorada:
Agora simplifico as frações dentro do parêntese.
Passo 3
Simplificação das frações no parêntese (explicando cada passo):
Portanto
Passo 4
Análise dos limites das partes menores (por que elas vão a zero):
- Para
vale porque dividir um número fixo por algo que cresce ao quadrado vai a zero. - Para
vale pelo mesmo motivo (agora dividindo por algo que cresce ao cubo).
Logo, pelo limite de soma e diferença,
Passo 5
Comportamento de
quando
:
pois elevar
grande ao cubo faz o valor crescer sem limite e permanecer positivo para
positivo.
Passo 6
Conclusão combinando as duas partes (produto de um que tende a
por outro que tende a uma constante positiva):
Temos
Temos
Ao passar ao limite,
Como multiplicar algo que diverge para
por uma constante positiva
dá
, segue que