Calcule.
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(3 x^{3}-2 x+1\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede calcular o limite \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3x^{3}-2x+1\right).
  • A expressão é o polinômio 3x^{3}-2x+1.
  • O objetivo é saber o comportamento dessa função quando x cresce sem limite para +\infty.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): em polinômios o termo de maior grau domina o comportamento para x grande. Aqui o termo de maior grau é 3x^{3}. Para tornar isso formal e ver direitinho, vou fatorar o maior potência de x, que é x^{3}.
Escrevendo a função fatorada:
3x^{3}-2x+1 = x^{3}\left(3 - \frac{2x}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}\right).
Agora simplifico as frações dentro do parêntese.

Passo 3

Simplificação das frações no parêntese (explicando cada passo):
\frac{2x}{x^{3}} = \frac{2}{x^{2}}, \qquad \frac{1}{x^{3}} \text{ já está em forma final.}áá
Portanto
3x^{3}-2x+1 = x^{3}\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right).

Passo 4

Análise dos limites das partes menores (por que elas vão a zero):
  • Para x\rightarrow+\infty vale \displaystyle\frac{2}{x^{2}}\rightarrow 0 porque dividir um número fixo por algo que cresce ao quadrado vai a zero.
  • Para x\rightarrow+\infty vale \displaystyle\frac{1}{x^{3}}\rightarrow 0 pelo mesmo motivo (agora dividindo por algo que cresce ao cubo).
Logo, pelo limite de soma e diferença,
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right) = 3 - 0 + 0 = 3.

Passo 5

Comportamento de x^{3} quando x\rightarrow+\infty:
\lim_{x\rightarrow+\infty} x^{3} = +\infty,
pois elevar x grande ao cubo faz o valor crescer sem limite e permanecer positivo para x positivo.

Passo 6

Conclusão combinando as duas partes (produto de um que tende a +\infty por outro que tende a uma constante positiva):
Temos
3x^{3}-2x+1 = x^{3}\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right).
Ao passar ao limite,
\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{3} = +\infty \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3 - \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{x^{3}}\right)=3.
Como multiplicar algo que diverge para +\infty por uma constante positiva 3 +\infty, segue que
\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(3x^{3}-2x+1\right)=+\infty.

Resposta

+\infty

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