Calcule.
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x-6}-\sqrt{x+4}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da diferença
\sqrt{x-6}-\sqrt{x+4}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é uma diferença de duas raízes quadradas com argumento que cresce sem limite quando x\to+\infty.
  • O comportamento imediato ao substituir é do tipo +\infty - +\infty, ou seja, uma forma indeterminada do tipo \infty-\infty.

Passo 2

Entendendo a forma indeterminada \infty-\infty.
Quando temos uma expressão do tipo \infty-\infty não podemos concluir o valor do limite só observando os termos separados, porque as duas parcelas crescem sem limite e a diferença pode tender a qualquer número finito, a +\infty, a -\infty ou não existir. Portanto precisamos manipular a expressão para um formato em que possamos aplicar regras de limite (por exemplo uma razão cujo denominador tende a +\infty ou uma soma de termos que têm limites conhecidos).

Passo 3

Técnica usada: racionalizar pela conjugada.
Explicação da técnica: se a e b são expressões, então (a-b)(a+b)=a^2-b^2. Multiplicar por \dfrac{a+b}{a+b} transforma uma diferença de raízes em uma razão envolvendo diferenças de quadrados, que normalmente simplifica bem quando a e b são raízes.
Aplicando aqui com a=\sqrt{x-6} e b=\sqrt{x+4}. Multiplicamos a expressão por \dfrac{\sqrt{x-6}+\sqrt{x+4}}{\sqrt{x-6}+\sqrt{x+4}}:
\sqrt{x-6}-\sqrt{x+4} = \frac{\bigl(\sqrt{x-6}-\sqrt{x+4}\bigr)\bigl(\sqrt{x-6}+\sqrt{x+4}\bigr)}{\sqrt{x-6}+\sqrt{x+4}}.
Pela diferença de quadrados, o numerador vira
(\sqrt{x-6})^2-(\sqrt{x+4})^2 = (x-6)-(x+4).

Passo 4

Continuando a álgebra:
(x-6)-(x+4) = x-6-x-4 = -10.
Logo a expressão se transforma em
\frac{-10}{\sqrt{x-6}+\sqrt{x+4}}.
Essa forma é muito mais fácil de analisar: agora temos uma constante no numerador e uma soma de duas raízes no denominador.

Passo 5

Avaliar o limite da nova forma. Para estudar o comportamento do denominador quando x\to+\infty é conveniente fatorar \sqrt{x}:
\sqrt{x-6}+\sqrt{x+4} = \sqrt{x}\,\Bigl(\sqrt{1-\tfrac{6}{x}}+\sqrt{1+\tfrac{4}{x}}\Bigr).
Quando x\to+\infty temos \tfrac{6}{x}\to0 e \tfrac{4}{x}\to0, portanto por continuidade das funções raiz:
\sqrt{1-\tfrac{6}{x}}\to1, \qquad \sqrt{1+\tfrac{4}{x}}\to1.
Assim o parêntese tende a 1+1=2, e \sqrt{x}\to+\infty. Portanto o denominador cresce como 2\sqrt{x}\to+\infty.

Passo 6

Concluir o limite da razão. Como o numerador é a constante -10 e o denominador tende a +\infty, a fração tende a 0. Como o numerador é negativo e o denominador positivo, a tendência é para 0 pelo lado negativo; mas o valor do limite é apenas 0 (a informação de sinal lateral não altera o número limite, que é 0).

Passo 7

Dica prática para prova: sempre que encontrar \sqrt{x+a}-\sqrt{x+b} com x\to\infty, racionalize multiplicando pela conjugada. Em geral isso transforma a expressão numa constante sobre algo que cresce como \sqrt{x}, então o limite costuma ser 0. Exemplo rápido: \sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to0.

Resposta

0

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