Calcule.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da diferença
Informações relevantes dadas:
- A expressão é uma diferença de duas raízes quadradas com argumento que cresce sem limite quando
. - O comportamento imediato ao substituir é do tipo
, ou seja, uma forma indeterminada do tipo .
Passo 2
Entendendo a forma indeterminada
.
Quando temos uma expressão do tipo não podemos concluir o valor do limite só observando os termos separados, porque as duas parcelas crescem sem limite e a diferença pode tender a qualquer número finito, a
, a
ou não existir. Portanto precisamos manipular a expressão para um formato em que possamos aplicar regras de limite (por exemplo uma razão cujo denominador tende a
ou uma soma de termos que têm limites conhecidos).
Quando temos uma expressão do tipo
Passo 3
Técnica usada: racionalizar pela conjugada.
Explicação da técnica: se e
são expressões, então
. Multiplicar por
transforma uma diferença de raízes em uma razão envolvendo diferenças de quadrados, que normalmente simplifica bem quando
e
são raízes.
Explicação da técnica: se
Aplicando aqui com
e
. Multiplicamos a expressão por
:
Pela diferença de quadrados, o numerador vira
Passo 4
Continuando a álgebra:
Logo a expressão se transforma em
Essa forma é muito mais fácil de analisar: agora temos uma constante no numerador e uma soma de duas raízes no denominador.
Passo 5
Avaliar o limite da nova forma. Para estudar o comportamento do denominador quando
é conveniente fatorar
:
Quando
temos
e
, portanto por continuidade das funções raiz:
Assim o parêntese tende a
, e
. Portanto o denominador cresce como
.
Passo 6
Concluir o limite da razão. Como o numerador é a constante
e o denominador tende a
, a fração tende a
. Como o numerador é negativo e o denominador positivo, a tendência é para
pelo lado negativo; mas o valor do limite é apenas
(a informação de sinal lateral não altera o número limite, que é
).
Passo 7
Dica prática para prova: sempre que encontrar
com
, racionalize multiplicando pela conjugada. Em geral isso transforma a expressão numa constante sobre algo que cresce como
, então o limite costuma ser
. Exemplo rápido:
.