Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}}(5+|6 x-3|)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \frac{1}{2}} \bigl(5 + |6x-3|\bigr).
Informações dadas:
  • A expressão que entra no limite é 5 + |6x-3|.
  • O ponto onde o limite é tomado é x=\dfrac{1}{2}.
    Não há outras condições ou complicações no enunciado.

Passo 2

Vou simplificar a expressão dentro do valor absoluto para ver sua estrutura. Observe que
6x-3 = 6\left(x-\frac{1}{2}\right).
Portanto, usando a propriedade |a b| = |a|\,|b|, tem-se
|6x-3| = \bigl|6\left(x-\tfrac{1}{2}\right)\bigr| = 6\left|x-\tfrac{1}{2}\right|.
Aqui x é a variável que se aproxima de \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora vejo o limite da parte variável. Quando x \to \tfrac{1}{2}, a diferença x-\tfrac{1}{2} tende a 0. O valor absoluto é uma função que preserva limites no ponto 0: se y\to 0 então |y|\to 0. Aplicando isso com y=x-\tfrac{1}{2}, obtemos
\lim_{x\to \frac{1}{2}} \left|x-\tfrac{1}{2}\right| = 0.
(Explicação curta: x-\tfrac{1}{2}\to 0 e |\cdot| é contínua em 0, logo o limite do módulo é o módulo do limite, isto é 0.)

Passo 4

Usando a propriedade linear dos limites (constante fora do limite), como |6x-3| = 6\left|x-\tfrac{1}{2}\right|, temos
\lim_{x\to \frac{1}{2}} |6x-3| = 6 \cdot \lim_{x\to \frac{1}{2}} \left|x-\tfrac{1}{2}\right| = 6\cdot 0 = 0.

Passo 5

Finalmente, o limite da soma é a soma dos limites (quando eles existem). Como o limite da constante 5 é 5 e o limite da parte absoluta é 0, obtemos
\lim_{x\to \frac{1}{2}} \bigl(5 + |6x-3|\bigr) = 5 + 0 = 5.

Resposta

5

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