Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da expressão
Ou seja, a pergunta é: qual é o valor de
As informações dadas são exatamente a expressão acima e a direção do limite:
.
Passo 2
Verificação direta por substituição: se eu substituir
por um número muito grande, vejo que
tende a
e
também tende a
. Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo
. Quando aparece
é sinal de que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de tomar o limite.
Passo 3
Escolho usar o truque do conjugado porque é simples e transforma a diferença em uma razão fácil de analisar. O conjugado de
é
. Multiplico e divido a expressão por esse conjugado (essa operação é legítima porque o conjugado não é zero para
real):
Passo 4
Faço a multiplicação no numerador: é uma diferença de quadrados.
Portanto a expressão simplifica para
Esta forma é ótima porque agora temos uma fração cujo numerador é constante e cujo denominador cresce com
.
Passo 5
Análise do limite da fração. Para
vale
, logo
Como
, temos
e, portanto,
. Assim
Além disso, para todo
a fração é negativa, então a expressão tende a
por valores negativos (ou seja, aproxima-se de
por baixo), mas o limite numérico é
.
Passo 6
(Observação alternativa, para intuição) Se preferir ver de outra forma, factorando
:
Colocando
(logo
quando
) e racionalizando
da mesma forma que antes dá
então
Isto confirma o resultado anterior e mostra também a velocidade com que a expressão vai a zero (da ordem de
para
grande).