Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[x-\sqrt{x^{2}+1}\right]

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a +\infty da expressão
x-\sqrt{x^{2}+1}.
Ou seja, a pergunta é: qual é o valor de
\lim_{x\to+\infty}\left[x-\sqrt{x^{2}+1}\right]\, ?
As informações dadas são exatamente a expressão acima e a direção do limite: x\to+\infty.

Passo 2

Verificação direta por substituição: se eu substituir x por um número muito grande, vejo que x tende a +\infty e \sqrt{x^{2}+1} também tende a +\infty. Portanto a expressão tem a forma indeterminada do tipo \infty-\infty. Quando aparece \infty-\infty é sinal de que precisamos manipular algebricamente a expressão antes de tomar o limite.

Passo 3

Escolho usar o truque do conjugado porque é simples e transforma a diferença em uma razão fácil de analisar. O conjugado de x-\sqrt{x^{2}+1} é x+\sqrt{x^{2}+1}. Multiplico e divido a expressão por esse conjugado (essa operação é legítima porque o conjugado não é zero para x real):
x-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr)}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.

Passo 4

Faço a multiplicação no numerador: é uma diferença de quadrados.
\bigl(x-\sqrt{x^{2}+1}\bigr)\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr) = x^{2} - \bigl(\sqrt{x^{2}+1}\bigr)^{2} = x^{2} - (x^{2}+1) = -1.
Portanto a expressão simplifica para
x-\sqrt{x^{2}+1} = \frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}.
Esta forma é ótima porque agora temos uma fração cujo numerador é constante e cujo denominador cresce com x.

Passo 5

Análise do limite da fração. Para x>0 vale \sqrt{x^{2}+1}>x, logo
x+\sqrt{x^{2}+1} > x+x = 2x.
Como x\to+\infty, temos 2x\to+\infty e, portanto, x+\sqrt{x^{2}+1}\to+\infty. Assim
\frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}}\longrightarrow 0.
Além disso, para todo x>0 a fração é negativa, então a expressão tende a 0 por valores negativos (ou seja, aproxima-se de 0 por baixo), mas o limite numérico é 0.

Passo 6

(Observação alternativa, para intuição) Se preferir ver de outra forma, factorando x:
x-\sqrt{x^{2}+1}=x\Bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\Bigr).
Colocando u=\tfrac{1}{x^{2}} (logo u\to 0^{+} quando x\to+\infty) e racionalizando 1-\sqrt{1+u} da mesma forma que antes dá
1-\sqrt{1+u}=\frac{-u}{1+\sqrt{1+u}},
então
x\Bigl(1-\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\Bigr)=\frac{-1}{x\bigl(1+\sqrt{1+\tfrac{1}{x^{2}}}\bigr)}\to 0.
Isto confirma o resultado anterior e mostra também a velocidade com que a expressão vai a zero (da ordem de -1/(2x) para x grande).

Resposta

0

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