Considere a equação:
a) Use o método de Frobenius para exibir duas soluções em torno de
.
b) Escreva a equação na sua forma auto-adjunta e identifique o autovalor
e a função peso
.
b) Escreva a equação na sua forma auto-adjunta e identifique o autovalor
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas:
- (a) Usar o método de Frobenius para exibir duas soluções em torno de
. - (b) Escrever a equação na forma auto-adjunta e identificar o autovalor
e a função peso .
Informações relevantes dadas: os parâmetros
e
aparecem como constantes; a singularidade em
é tratada pelo método de Frobenius (mas atenção:
é, na verdade, ponto regular porque o coeficiente de
vale
em
).
Passo 2
Breve lembrança do método de Frobenius (didática e sem pular etapas).
- A ideia é procurar uma solução da forma
onde
e
é o expoente indicial que determina comportamento em
.
- Calcula-se
e , substitui na equação e iguala coeficientes do menor poder de para obter a equação indicial (que dá ). Depois obtém-se uma relação de recorrência entre os . - Se
for ponto regular ordinário (coeficientes analíticos), então normalmente será inteiro e as duas soluções regulares correspondem a e (uma par e outra ímpar). Vamos aplicar isso passo a passo à equação dada.
Passo 3
Substituição da série de Frobenius na equação e obtenção da equação indicial.
- Assumir
- Derivadas:
- Substituir em
. Ao multiplicar o primeiro somatório por aparecem termos em e ; os demais termos ficam em . O menor expoente aparece no termo vindo da parte . - O coeficiente do menor poder
é dado por . Igualando a zero obtemos a equação indicial
Como
, segue
Comentário didático: isso confirma que
é ponto regular (só aparecem expoentes inteiros não negativos), então esperamos duas soluções analíticas, uma com comportamento
(regular par) e outra com
(regular ímpar).
Passo 4
Derivação da relação de recorrência geral (para
genérico) — passo técnico importante para construir as séries.
- Agrupando os termos em potência
(faça o deslocamento no somatório que tem ), obtemos a relação para :
- Explicando onde vem cada termo:
- O fator
vem do deslocamento do termo de (coeficiente na potência apropriada). - O polinômio
resulta da soma dos termos que multiplicam (provenientes de , do termo em e do termo em ); a simplificação foi feita coletando os termos em .
- O fator
Passo 5
Construção da primeira solução (caso
, série par/regular).
- Tomar
. A recorrência fica, para :
- Observação de paridade: a recorrência liga
a , logo índices de mesma paridade se acoplam. Assim, tomando arbitrário (por exemplo ) e escolhendo para a solução de paridade par, obtemos uma série envolvendo apenas potências pares:
com a recorrência específica (substituindo
):
- Exemplos dos primeiros coeficientes (para fixar a ideia):
-
livre (escolher se quiser normalizar). - Para
(isto é ):
então - Para
( ):
e assim por diante; cada é obtido a partir de por uma fração racional. -
Passo 6
Construção da segunda solução (caso
, série ímpar).
- Tomar
. A recorrência geral dá, para :
- Para obter a solução ímpar, escolhe-se
e livre (por exemplo ). Então só aparecem potências ímpares e escrevemos
- Escrevendo em termos de índices pares: substituindo
na forma original da recorrência (ou usando fórmula acima com ), obtemos a recorrência que liga a . Exemplo dos primeiros coeficientes: -
livre (p.ex. ). - Para
:
logo e assim por diante. -
Passo 7
Observações úteis e interpretação (didático, ligação com polinômios especiais).
- As duas séries encontradas são linearmente independentes (uma é par e outra ímpar), formando uma base de soluções analíticas locais em
. - Quando
for um inteiro não negativo (e alguns detalhes sobre ), a recorrência pode truncar: para certo o numerador da recorrência pode zerar e daí a série termina, produzindo um polinômio. Esses polinômios são, na verdade, uma família ligada aos polinômios de Jacobi (situação clássica em que indexa o grau). Isso é um comentário extra para quando aparecer em provas: reconhecer a equação como relacionada aos polinômios de Jacobi ajuda a identificar soluções polinomiais quando .
Passo 8
Parte (b): colocar a equação na forma auto-adjunta. Estratégia didática:
- Queremos multiplicar por um fator integrante
tal que o operador diferencial fique como
ou seja, que o termo multiplicando
seja
e o termo multiplicando
seja
. Começamos multiplicando a equação original por
e exigimos que
- Igualando
com e resolvendo para obtemos a equação diferencial para .
Passo 9
Cálculo do fator integrante
e expressão final auto-adjunta.
- Calcular
usando
Expandindo o lado esquerdo:
Rearranjando,
- Integrando ambos os lados:
Escolhendo a constante de normalização
(fator escalar não altera a forma auto-adjunta), obtemos
- Então
. Multiplicando a equação original por obtemos a forma auto-adjunta:
- A função peso natural nesta forma é
e o parâmetro que atua como autovalor na equação (quando escrita no formato de Sturm–Liouville
) é
Passo 10
Resumo final (breve encorajamento). Estas duas séries (com
e
) fornecem as duas soluções locais em
. A forma auto-adjunta encontrada é útil para interpretar problemas de autovalores e ortogonalidade (peso
) — se precisar, posso mostrar explicitamente como obter as formas normalizadas dos primeiros termos das séries ou conectar com polinômios de Jacobi quando
é inteiro.
Resposta
(a) Duas soluções em torno de
obtidas pelo método de Frobenius são uma solução par (com
)
com recorrência
e uma solução ímpar (com
)
com recorrência (equivalente)
(b) Multiplicando por
obtém-se a forma auto-adjunta
Logo o autovalor é
e a função peso é