Considere a equação de Laplace tal que:
\nabla^{2} \psi(x, y, \varphi)=0
e
\nabla^{2} \psi(x, y, \varphi)=\frac{4}{x+y}\left[\frac{\partial}{\partial x}\left(x \frac{\partial \psi}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(y \frac{\partial \psi}{\partial y}\right)\right]+\frac{1}{x y} \frac{\partial^{2} \psi}{\partial \varphi^{2}}
Faça a separação de variáveis apropriadamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Laplace na forma
\nabla^{2}\psi(x,y,\varphi)=0
e a expressão explícita
\nabla^{2}\psi(x,y,\varphi)=\frac{4}{x+y}\left[\frac{\partial}{\partial x}\!\left(x\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\!\left(y\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)\right]+\frac{1}{xy}\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\varphi^{2}}.
O que se pede: fazer a separação de variáveis “apropriadamente”, ou seja, assumir uma forma fatorizada da solução, substituir na equação e obter equações ordinárias separadas para cada variável (incluindo as constantes de separação e a forma da dependência em \varphi).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação diferencial parcial é a indicada acima, válida para (x,y,\varphi).
  • O termo em \varphi aparece como \dfrac{1}{xy}\dfrac{\partial^{2}\psi}{\partial\varphi^{2}}, enquanto os termos em x,y aparecem multiplicados por \dfrac{4}{x+y}.
  • Não foram dadas condições de contorno; a separação deve apresentar as equações ordinárias que resultam da hipótese de separação.

Passo 2

Hipótese de separação: proponho a forma produto usual entre funções de cada variável:
\psi(x,y,\varphi)=X(x)\,Y(y)\,\Phi(\varphi),
onde X, Y e \Phi dependem apenas de x, y e \varphi, respectivamente. Essa hipótese é padrão porque a equação é linear e permite tentar soluções em que cada variável é tratada separadamente.
Explico por que: se substituirmos essa forma na PDE, as derivadas em cada variável deixam fatores que podem ser divididos pelo produto X Y \Phi, levando a termos que dependem só de uma variável (ou a combinação de duas no caso do x+y), possibilitando a introdução de constantes de separação.

Passo 3

Calcular as derivadas necessárias com \psi=X Y \Phi.
  • Derivadas em x:
\frac{\partial\psi}{\partial x}=X'(x)\,Y(y)\,\Phi(\varphi), \qquad \frac{\partial}{\partial x}\!\Big(x\frac{\partial\psi}{\partial x}\Big)=\big(x X'(x)\big)'\,Y(y)\,\Phi(\varphi).
  • Derivadas em y:
\frac{\partial\psi}{\partial y}=X(x)\,Y'(y)\,\Phi(\varphi), \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\Big(y\frac{\partial\psi}{\partial y}\Big)=X(x)\,\big(y Y'(y)\big)'\,\Phi(\varphi).
  • Derivada em \varphi:
\frac{\partial^{2}\psi}{\partial\varphi^{2}}=X(x)\,Y(y)\,\Phi''(\varphi).
Substituindo tudo na expressão do laplaciano dada e dividindo por X Y \Phi obtemos
\frac{4}{x+y}\left[\frac{\big(x X'(x)\big)'}{X(x)}+\frac{\big(y Y'(y)\big)'}{Y(y)}\right]+\frac{1}{x y}\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}=0.

Passo 4

Separação da variável \varphi.
Observe que \dfrac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)} depende só de \varphi, mas está multiplicada por \dfrac{1}{xy} que depende de x,y. A maneira usual de separar \varphi é colocar
\frac{\Phi''(\varphi)}{\Phi(\varphi)}=-m^{2},
onde m^{2} é uma constante de separação não negativa. Assim chegamos à equação ordinária para \Phi:
\Phi''(\varphi)+m^{2}\Phi(\varphi)=0.
Motivação e comentário sobre m: se a coordenada \varphi for um ângulo periódico com período 2\pi (caso comum), a função \Phi deve ser 2\pi-periódica e isso força m a ser inteiro (ou seja m\in\mathbb{Z}). A forma geral da solução é
\Phi(\varphi)=A\cos(m\varphi)+B\sin(m\varphi),
com A,B constantes.

Passo 5

Substituir \dfrac{\Phi''}{\Phi}=-m^{2} na equação já dividida por X Y \Phi. Obtém-se
\frac{4}{x+y}\left[\frac{\big(x X'\big)'}{X}+\frac{\big(y Y'\big)'}{Y}\right]-\frac{m^{2}}{xy}=0.
Multiplicando por x+y e reescrevendo \dfrac{m^{2}(x+y)}{xy}=m^{2}\big(\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{y}\big) temos
4\frac{\big(x X'\big)'}{X}+4\frac{\big(y Y'\big)'}{Y}-m^{2}\Big(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\Big)=0.
Agrupando termos dependentes apenas de x e apenas de y:
\Big[4\frac{\big(x X'\big)'}{X}-\frac{m^{2}}{x}\Big]+\Big[4\frac{\big(y Y'\big)'}{Y}-\frac{m^{2}}{y}\Big]=0.
Cada colchete depende exclusivamente de uma variável diferente; portanto a soma de uma função só de x com outra só de y ser zero para todos x,y implica que cada colchete é igual a uma constante de separação com sinais opostos. Introduzo a constante de separação \mu (real, a escolher pela condição de contorno depois) e escrevo:
4\frac{\big(x X'\big)'}{X}-\frac{m^{2}}{x}=\mu, \qquad 4\frac{\big(y Y'\big)'}{Y}-\frac{m^{2}}{y}=-\mu.

Passo 6

Escrever as equações ordinárias resultantes em forma mais explícita (colocando tudo numa forma diferencial padrão).
Para X(x):
4\big(x X'(x)\big)'-\frac{m^{2}}{x}X(x)=\mu\,X(x).
Uma forma equivalente, dividida por 4, é
\big(x X'\big)'-\left(\frac{\mu}{4}+\frac{m^{2}}{4x}\right)X=0.
Para Y(y):
4\big(y Y'(y)\big)'-\frac{m^{2}}{y}Y(y)=-\mu\,Y(y),
ou seja, dividindo por 4,
\big(y Y'\big)'-\left(-\frac{\mu}{4}+\frac{m^{2}}{4y}\right)Y=0,
que pode ser reescrita como
\big(y Y'\big)'+\left(\frac{\mu}{4}-\frac{m^{2}}{4y}\right)Y=0.
Comentário sobre as equações: ficaram duas equações ordinárias de segunda ordem, uma em x e outra em y, acopladas apenas pela constante \mu (além do índice m vindo da separação em \varphi). A solução completa será combinação linear das soluções dessas ODEs para cada par de constantes (m,\mu) compatíveis com as condições de contorno do problema. A equação em \varphi tem solução trigonométrica já indicada.

Passo 7

Resumo do procedimento e observações finais didáticas:
  • Primeiro isolou-se a dependência angular \varphi por causa do termo \Phi''/\Phi e escolheu-se \Phi''/\Phi=-m^{2}, o que dá soluções trigonométricas para \Phi.
  • A substituição levou a uma equação que, após multiplicar por x+y, permitiu escrever a soma de uma função de x com uma função de y igual a zero, justificando a introdução da constante \mu.
  • As ODEs para X e Y foram então escritas explicitamente; a escolha dos valores permitidos para m e \mu depende das condições de contorno e da regularidade exigida (por exemplo, periodicidade em \varphi força m\in\mathbb{Z}).

Resposta

\psi(x,y,\varphi)=X(x)\,Y(y)\,\Phi(\varphi) com
\Phi''(\varphi)+m^{2}\Phi(\varphi)=0,\qquad \Phi(\varphi)=A\cos(m\varphi)+B\sin(m\varphi),
e as equações separadas para X e Y:
4\big(x X'(x)\big)'-\frac{m^{2}}{x}X(x)=\mu\,X(x),
4\big(y Y'(y)\big)'-\frac{m^{2}}{y}Y(y)=-\mu\,Y(y),
onde m é o índice associado à separação em \varphi (se \varphi é angular periódico, então m\in\mathbb{Z}) e \mu é a constante de separação adicional que deve ser determinada pelas condições de contorno.

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