Considere a equação de Laplace tal que:
e
Faça a separação de variáveis apropriadamente.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Laplace na forma
e a expressão explícita
O que se pede: fazer a separação de variáveis “apropriadamente”, ou seja, assumir uma forma fatorizada da solução, substituir na equação e obter equações ordinárias separadas para cada variável (incluindo as constantes de separação e a forma da dependência em
).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A equação diferencial parcial é a indicada acima, válida para
. - O termo em
aparece como , enquanto os termos em aparecem multiplicados por . - Não foram dadas condições de contorno; a separação deve apresentar as equações ordinárias que resultam da hipótese de separação.
Passo 2
Hipótese de separação: proponho a forma produto usual entre funções de cada variável:
onde
,
e
dependem apenas de
,
e
, respectivamente. Essa hipótese é padrão porque a equação é linear e permite tentar soluções em que cada variável é tratada separadamente.
Explico por que: se substituirmos essa forma na PDE, as derivadas em cada variável deixam fatores que podem ser divididos pelo produto
, levando a termos que dependem só de uma variável (ou a combinação de duas no caso do
), possibilitando a introdução de constantes de separação.
Passo 3
Calcular as derivadas necessárias com
.
- Derivadas em
:
- Derivadas em
:
- Derivada em
:
Substituindo tudo na expressão do laplaciano dada e dividindo por
obtemos
Passo 4
Separação da variável
.
Observe que
depende só de
, mas está multiplicada por
que depende de
. A maneira usual de separar
é colocar
onde
é uma constante de separação não negativa. Assim chegamos à equação ordinária para
:
Motivação e comentário sobre
: se a coordenada
for um ângulo periódico com período
(caso comum), a função
deve ser
-periódica e isso força
a ser inteiro (ou seja
). A forma geral da solução é
com
constantes.
Passo 5
Substituir
na equação já dividida por
. Obtém-se
Multiplicando por
e reescrevendo
temos
Agrupando termos dependentes apenas de
e apenas de
:
Cada colchete depende exclusivamente de uma variável diferente; portanto a soma de uma função só de
com outra só de
ser zero para todos
implica que cada colchete é igual a uma constante de separação com sinais opostos. Introduzo a constante de separação
(real, a escolher pela condição de contorno depois) e escrevo:
Passo 6
Escrever as equações ordinárias resultantes em forma mais explícita (colocando tudo numa forma diferencial padrão).
Para
:
Uma forma equivalente, dividida por
, é
Para
:
ou seja, dividindo por
,
que pode ser reescrita como
Comentário sobre as equações: ficaram duas equações ordinárias de segunda ordem, uma em
e outra em
, acopladas apenas pela constante
(além do índice
vindo da separação em
). A solução completa será combinação linear das soluções dessas ODEs para cada par de constantes
compatíveis com as condições de contorno do problema. A equação em
tem solução trigonométrica já indicada.
Passo 7
Resumo do procedimento e observações finais didáticas:
- Primeiro isolou-se a dependência angular
por causa do termo e escolheu-se , o que dá soluções trigonométricas para . - A substituição levou a uma equação que, após multiplicar por
, permitiu escrever a soma de uma função de com uma função de igual a zero, justificando a introdução da constante . - As ODEs para
e foram então escritas explicitamente; a escolha dos valores permitidos para e depende das condições de contorno e da regularidade exigida (por exemplo, periodicidade em força ).
Resposta
e as equações separadas para
e
:
onde
é o índice associado à separação em
(se
é angular periódico, então
) e
é a constante de separação adicional que deve ser determinada pelas condições de contorno.