Calcule
\lim _{x \rightarrow+\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+2}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}-2x+2}.
Informações dadas:
  • A função dentro da raiz é x^{2}-2x+2.
  • O limite é tomado quando x tende para +\infty (ou seja, x fica cada vez maior e positivo).
    O objetivo é calcular esse limite.

Passo 2

Uma técnica útil para limites com raízes envolvendo potências de x é fatorar o maior termo (aqui x^{2}) dentro da raiz. Aplicando isso:
\sqrt{x^{2}-2x+2}=\sqrt{x^{2}\!\left(1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}\right)}.
Explicação didática: multiplicar e dividir por x^{2} não muda a expressão; dentro da raiz podemos escrever a soma como x^{2} vezes um parenteses. A propriedade da raiz quadrada que usamos é \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} quando a\ge 0 e b\ge 0.

Passo 3

Usando \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} obtemos
\sqrt{x^{2}-2x+2}=\sqrt{x^{2}}\;\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}.
Agora notar que \sqrt{x^{2}}=|x|. Como estamos fazendo x\to+\infty, para x suficientemente grande temos x>0, logo |x|=x. Portanto, para x grande,
\sqrt{x^{2}-2x+2}=x\;\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}.

Passo 4

Estude o comportamento do fator dentro da raiz quando x\to+\infty. As parcelas \dfrac{2}{x} e \dfrac{2}{x^{2}} tendem para 0 quando x\to+\infty. Assim
\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}\longrightarrow\sqrt{1}=1\quad\text{quando }x\to+\infty.
Explicando o raciocínio: somas e composições preservam limites, então se os termos dentro do parêntese tendem a 1, a raiz tende a \sqrt{1}=1.

Passo 5

Agora combine os comportamentos: temos x\to+\infty e o fator multiplicativo \sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}\to1. Logo o produto
x\cdot\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}
tende para +\infty, porque um fator diverge para +\infty e o outro tende para um número positivo (próximo de 1). Uma forma mais rigorosa: existe M tal que, para x>M, \sqrt{1-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}\ge \tfrac{1}{2} (porque a expressão dentro da raiz tende a 1), então para x>M
\sqrt{x^{2}-2x+2}=x\cdot\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^{2}}}\ge \frac{x}{2},
e \tfrac{x}{2}\to+\infty quando x\to+\infty. Portanto a expressão divergirá para +\infty.

Passo 6

(se quiser um detalhe a mais) Podemos também ver a expansão assintótica rápida usando o desenvolvimento da raiz: para u pequeno, \sqrt{1+u}=1+\tfrac{u}{2}+O(u^{2}). Com u=-\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^{2}} obtemos
\sqrt{x^{2}-2x+2}=x\left(1-\frac{1}{x}+O\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right)\right)=x-1+O\!\left(\frac{1}{x}\right),
o que confirma que a expressão cresce como x para x grande e, portanto, diverge para +\infty.

Resposta

+\infty

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