Calcule
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função dentro da raiz é
. - O limite é tomado quando
tende para (ou seja, fica cada vez maior e positivo).
O objetivo é calcular esse limite.
Passo 2
Uma técnica útil para limites com raízes envolvendo potências de
é fatorar o maior termo (aqui
) dentro da raiz. Aplicando isso:
Explicação didática: multiplicar e dividir por
não muda a expressão; dentro da raiz podemos escrever a soma como
vezes um parenteses. A propriedade da raiz quadrada que usamos é
quando
e
.
Passo 3
Usando
obtemos
Agora notar que
. Como estamos fazendo
, para
suficientemente grande temos
, logo
. Portanto, para
grande,
Passo 4
Estude o comportamento do fator dentro da raiz quando
. As parcelas
e
tendem para
quando
. Assim
Explicando o raciocínio: somas e composições preservam limites, então se os termos dentro do parêntese tendem a
, a raiz tende a
.
Passo 5
Agora combine os comportamentos: temos
e o fator multiplicativo
. Logo o produto
tende para
, porque um fator diverge para
e o outro tende para um número positivo (próximo de
). Uma forma mais rigorosa: existe
tal que, para
,
(porque a expressão dentro da raiz tende a
), então para
e
quando
. Portanto a expressão divergirá para
.
Passo 6
(se quiser um detalhe a mais) Podemos também ver a expansão assintótica rápida usando o desenvolvimento da raiz: para
pequeno,
. Com
obtemos
o que confirma que a expressão cresce como
para
grande e, portanto, diverge para
.