Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(8-x^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a seguinte limite quando x tende a -\infty:
\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(8 - x^{3}\right).
Informações dadas:
  • A função é f(x)=8 - x^{3}.
  • O ponto de interesse é x\to -\infty (isto é, x vai para números negativos com módulo crescente).
  • O objetivo é determinar o comportamento (valor finito, +\infty, -\infty, ou não existe) desse limite.

Passo 2

Entender o comportamento de x^{3} quando x\to -\infty. Seja x=-N com N>0 e N\to +\infty. Então
x^{3}=(-N)^{3} = -N^{3}.
Como N^{3}\to +\infty quando N\to +\infty, conclui-se que
\lim_{x\to -\infty} x^{3} = -\infty.
Ou seja: para x muito negativo, x^{3} é um número negativo de grande módulo.

Passo 3

Reescrever a função destacando o termo dominante (o de maior grau):
8 - x^{3} = -x^{3} + 8.
Em polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento para x\to\pm\infty. Aqui o termo dominante é -x^{3}. Já sabemos que x^{3}\to -\infty, então
-x^{3}\to +\infty.
O termo constante 8 é pequeno comparado a x^{3} quando |x| é enorme, portanto a soma -x^{3}+8 também tende a +\infty. Vamos mostrar isso de forma um pouco mais formal no próximo passo.

Passo 4

Argumento mais formal via fatoração e limites de frações. Escreve-se
8 - x^{3} = -x^{3}\!\left(1 - \frac{8}{x^{3}}\right).
Agora analisamos os dois fatores quando x\to -\infty:
  • Já temos \displaystyle \lim_{x\to -\infty} -x^{3} = +\infty.
  • Para a fração, \displaystyle \lim_{x\to -\infty} \frac{8}{x^{3}} = 0 porque o denominador tende a infinito em módulo, logo
\lim_{x\to -\infty}\left(1 - \frac{8}{x^{3}}\right) = 1.
Temos, portanto, um produto em que um fator tende a +\infty e o outro tende a 1 (número finito não nulo). Logo o produto tende a +\infty. Em símbolos:
\lim_{x\to -\infty}\left(8 - x^{3}\right) = \left(\lim_{x\to -\infty} -x^{3}\right)\cdot\left(\lim_{x\to -\infty}\left(1 - \frac{8}{x^{3}}\right)\right) = (+\infty)\cdot 1 = +\infty.

Passo 5

Intuição numérica rápida para confirmar: escolha x=-10 e x=-100.
8 - (-10)^{3} = 8 - (-1000) = 1008,
8 - (-100)^{3} = 8 - (-1\,000\,000) = 1\,000\,008.
Os valores crescem muito e positivos conforme x fica mais negativo, coerente com limite +\infty.

Passo 6

Conclusão: o termo de maior grau determina o crescimento, e como -x^{3} cresce para +\infty quando x\to -\infty, o polinômio todo tende a +\infty.

Resposta

+\infty

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