Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto de interesse é
(isto é, vai para números negativos com módulo crescente). - O objetivo é determinar o comportamento (valor finito,
, , ou não existe) desse limite.
Passo 2
Entender o comportamento de
quando
. Seja
com
e
. Então
Como
quando
, conclui-se que
Ou seja: para
muito negativo,
é um número negativo de grande módulo.
Passo 3
Reescrever a função destacando o termo dominante (o de maior grau):
Em polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento para
. Aqui o termo dominante é
. Já sabemos que
, então
O termo constante
é pequeno comparado a
quando
é enorme, portanto a soma
também tende a
. Vamos mostrar isso de forma um pouco mais formal no próximo passo.
Passo 4
Argumento mais formal via fatoração e limites de frações. Escreve-se
Agora analisamos os dois fatores quando
:
- Já temos
. - Para a fração,
porque o denominador tende a infinito em módulo, logo
Temos, portanto, um produto em que um fator tende a
e o outro tende a
(número finito não nulo). Logo o produto tende a
. Em símbolos:
Passo 5
Intuição numérica rápida para confirmar: escolha
e
.
Os valores crescem muito e positivos conforme
fica mais negativo, coerente com limite
.
Passo 6
Conclusão: o termo de maior grau determina o crescimento, e como
cresce para
quando
, o polinômio todo tende a
.