Calcule
.
Passo 1
Então, a gente tem um limite para calcular:
. Isso está relacionado aos conceitos de limites na Matemática, mais especificamente no estudo de funções e suas aproximações próximas a certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno e exponencial se comportam quando
se aproxima de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite. Quando a gente calcula
, estamos vendo qual valor
se aproxima quando
chega perto de
. No nosso caso,
é 0.
Passo 3
Agora, vamos analisar as funções no numerador e no denominador:
-
: Sabemos que . -
: Quando , , então .
Isso significa que temos uma forma do tipo
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
A regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então o limite pode ser encontrado derivando o numerador e o denominador:
Passo 5
Vamos derivar o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, agora nosso limite fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular o novo limite substituindo
:
Portanto:
Resposta
O limite
é igual a 1.