Calcule lim x 0 sen xe^x-1.

Passo 1

Então, a gente tem um limite para calcular: lim x 0 sin xe^x-1. Isso está relacionado aos conceitos de limites na Matemática, mais especificamente no estudo de funções e suas aproximações próximas a certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar entender como as funções seno e exponencial se comportam quando x se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite. Quando a gente calcula limx a f(x), estamos vendo qual valor f(x) se aproxima quando x chega perto de a. No nosso caso, a é 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar as funções no numerador e no denominador:
  • sin x: Sabemos que sin 0 = 0.
  • e^x - 1: Quando x = 0, e^0 = 1, então 1 - 1 = 0.
Isso significa que temos uma forma do tipo 00, que é uma indeterminação. Para resolver isso, podemos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

A regra de L’Hôpital diz que se limx a f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então o limite pode ser encontrado derivando o numerador e o denominador:
limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x)

Passo 5

Vamos derivar o numerador e o denominador:
  • Derivada de sin x em relação a x é cos x.
  • Derivada de e^x - 1 em relação a x é e^x.
Então, agora nosso limite fica:
limx 0 cos xe^x

Passo 6

Agora, vamos calcular o novo limite substituindo x = 0:
  • cos 0 = 1
  • e^0 = 1
Portanto:
11 = 1

Resposta

O limite lim x 0 sin xe^x-1 é igual a 1.

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