Duas ondas senoidas y1(x, t) e y2(x, t) têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no sentido contrário em uma corda. As amplitudes são ym 1=5,0 mm e ym 2= 8,0 mm, e as constantes de fase são 45 e 60 graus, respectivamente.
(1,0) Quais são a amplitude ym ^prime e a constante de fase beta da onda resultante?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre ondas em corda! Temos duas ondas senoidais que têm o mesmo comprimento de onda e estão se movendo em direções opostas. As amplitudes dessas ondas são 5,0 mm e 8,0 mm, e suas constantes de fase são 45 e 60 graus, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a amplitude da onda resultante, que vamos chamar de $ y_m’ $, e a sua constante de fase $ \beta $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando duas ondas se propagam em direções opostas na mesma corda, podemos usar a superposição para encontrar a onda resultante. A superposição significa simplesmente somar as duas ondas ponto a ponto.

Passo 3

As ondas podem ser representadas da seguinte forma:
y1(x, t) = ym1 sin(kx - omega t + phi1)
y2(x, t) = ym2 sin(-kx - omega t + phi2)
Aqui, $ y_{m1} $ e $ y_{m2} $ são as amplitudes, $ k $ é o número de onda, $ \omega $ é a frequência angular, e $ \phi_1 $ e $ \phi_2 $ são as constantes de fase das ondas $ y_1 $ e $ y_2 $, respectivamente. Note que a segunda onda tem $ -kx $ porque está se propagando na direção oposta.

Passo 4

Para facilitar a soma, podemos reescrever a segunda onda:
y2(x, t) = ym2 sin(kx + omega t + phi2)
Agora, ambas as ondas têm $ kx $, mas o sinal de $ \omega t $ na segunda onda foi invertido para refletir a direção oposta.

Passo 5

A onda resultante $ y $ é a soma das duas ondas:
y

Passo 6

Para somar essas duas ondas, usamos a identidade trigonométrica para a soma de senos:
A sin theta + B sin phi = raizA^2 + B^2 + 2AB cos(theta - phi) sin(theta + phi2 + tan^-1(B sin(theta - phi)A + B cos(theta - phi)))
Mas neste caso, como as ondas são semelhantes e se propagam de forma oposta, podemos simplificar o processo.

Passo 7

Assumindo que $ kx $ e $ \omega t $ são iguais para ambas as ondas, podemos focar nas constantes de fase. Vamos chamar $ \phi_1 = 45^\circ $ e $ \phi_2 = 60^\circ $.

Passo 8

A amplitude resultante $ y_m’ $ pode ser encontrada usando a fórmula:
ym'
Substituindo os valores:
ym' = raizym1^2 + ym2^2 + 2 ym1 ym2 cos(phi1 - phi2)

Passo 9

Calculando a diferença de fase:
45^circ - 60^circ = -15^circ
cos(-15^circ) = cos(15^circ) approx 0,9659

Passo 10

Agora substituímos os valores:
ym' = raiz25 + 64 + 2 times 5 times 8 times 0,9659
ym' = raiz89 + 80 times 0,9659
ym' = raiz89 + 77,272 = raiz166,272 approx 12,90 mm

Passo 11

Para encontrar a constante de fase $ \beta $ da onda resultante, usamos:
beta
Substituindo os valores:
beta = tan^-1(ym2 sin(phi2) + ym1 sin(phi1)ym1 cos(phi1) + ym2 cos(phi2))

Passo 12

Calculando os valores trigonométricos:
sin(60^circ) approx 0,8660
sin(45^circ) approx 0,7071
cos(45^circ) approx 0,7071
cos(60^circ) = 0,5

Passo 13

Substituindo na fórmula:
beta = tan^-1(8 times 0,8660 + 5 times 0,70715 times 0,7071 + 8 times 0,5)
beta = tan^-1(6,928 + 3,53553,5355 + 4)
beta = tan^-1(10,46357,5355) approx tan^-1(1,387) approx 54^circ

Resposta

A amplitude da onda resultante é aproximadamente $ 12,90 mm $ e a constante de fase $ \beta $ é de aproximadamente $ 54^\circ $.

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