Duas ondas senoidas
e
têm o mesmo comprimento de onda e se propagam no sentido contrário em uma corda. As amplitudes são
e
, e as constantes de fase são 45 e 60 graus, respectivamente.
Quais são a amplitude
a constante de fase
da onda resultante?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre ondas em corda! Temos duas ondas senoidais que têm o mesmo comprimento de onda e estão se movendo em direções opostas. As amplitudes dessas ondas são 5,0 mm e 8,0 mm, e suas constantes de fase são 45 e 60 graus, respectivamente. Nosso objetivo é encontrar a amplitude da onda resultante, que vamos chamar de $ y_m’ $, e a sua constante de fase $ \beta $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando duas ondas se propagam em direções opostas na mesma corda, podemos usar a superposição para encontrar a onda resultante. A superposição significa simplesmente somar as duas ondas ponto a ponto.
Passo 3
As ondas podem ser representadas da seguinte forma:
Aqui, $ y_{m1} $ e $ y_{m2} $ são as amplitudes, $ k $ é o número de onda, $ \omega $ é a frequência angular, e $ \phi_1 $ e $ \phi_2 $ são as constantes de fase das ondas $ y_1 $ e $ y_2 $, respectivamente. Note que a segunda onda tem $ -kx $ porque está se propagando na direção oposta.
Passo 4
Para facilitar a soma, podemos reescrever a segunda onda:
Agora, ambas as ondas têm $ kx $, mas o sinal de $ \omega t $ na segunda onda foi invertido para refletir a direção oposta.
Passo 5
A onda resultante $ y $ é a soma das duas ondas:
Passo 6
Para somar essas duas ondas, usamos a identidade trigonométrica para a soma de senos:
Mas neste caso, como as ondas são semelhantes e se propagam de forma oposta, podemos simplificar o processo.
Passo 7
Assumindo que $ kx $ e $ \omega t $ são iguais para ambas as ondas, podemos focar nas constantes de fase. Vamos chamar $ \phi_1 = 45^\circ $ e $ \phi_2 = 60^\circ $.
Passo 8
A amplitude resultante $ y_m’ $ pode ser encontrada usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Passo 9
Calculando a diferença de fase:
Passo 10
Agora substituímos os valores:
Passo 11
Para encontrar a constante de fase $ \beta $ da onda resultante, usamos:
Substituindo os valores:
Passo 12
Calculando os valores trigonométricos:
Passo 13
Substituindo na fórmula:
Resposta
A amplitude da onda resultante é aproximadamente $ 12,90 mm $ e a constante de fase $ \beta $ é de aproximadamente $ 54^\circ $.