Calcule
lim x 0^+ x^tg x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0^+x^tan(x^2). O conteúdo envolvido é limite de função exponencial com base e expoente que tendem a valores críticos, e vamos precisar usar a transformação a^b=e^bln a e técnicas para limite do tipo 0cdot(-infty).

Passo 2

Reescrevemos a expressão em forma exponencial:
x^tan(x^2) = e^tan(x^2),ln(x)
Assim o limite original vira e^L, onde L=limxto0^+l[tan(x^2)ln(x)r].

Passo 3

Para avaliar L observamos que quando xto0^+, tan(x^2)sim x^2 e ln(x)to-infty, gerando um tipo indeterminado 0cdot(-infty). Substituímos pela forma ln(x)1/tan(x^2).
Como 1/tan(x^2)sim1/x^2, temos
L=limxto0^+x^2ln(x)
Esse é um tipo 0cdot(-infty). Para usar L’Hôpital, reescrevemos
x^2ln(x)=ln(x)1/x^2
e aplicamos L’Hôpital: derivando numerador e denominador,
ddxln(x)ddx(1/x^2)=1/x-2/x^3=-x^22to0

Passo 4

Portanto L=0, logo o limite original é
e^0=1

Resposta

1

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