Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
lim (x, y) (0,0) 4 x-ysen(y)-1

Passo 1

O enunciado pede o limite da função f(x,y) = 4x - ysin(y) - 1 quando (x,y)→(0,0). O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis e veremos que o denominador tende a uma constante não nula, o que simplifica o cálculo do limite.

Passo 2

À medida que y→0 temos sin(y)→0 e, portanto, sin(y)-1→-1, que é diferente de zero. Pela regra de limite do quociente, se o denominador tende a um valor não nulo, podemos escrever:
lim(x,y)to(0,0)4x-ysin(y)-1 = lim(x,y)to(0,0)(4x-y)limyto0(sin(y)-1) = 0-1 = 0
Para ficar mais rigoroso, note que para y suficientemente próximo de 0 existe c>0 tal que |\sin(y)-1|>1/2. Assim,
|4x-ysin(y)-1| <= 2,(|4x|+|y|)
e como (x,y)→(0,0) o lado direito tende a zero, confirmando que o limite é 0.

Resposta

0

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