Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
lim (x, y, z) (pi, 0, 13) e^y^2 tan (x z)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lim(x,y,z)to(pi,0,1/3) e^y^2 tan(xz). O conteúdo envolvido é limite de função de várias variáveis e propriedades de continuidade das funções exponencial e tangente. Vamos usar que, se uma função é contínua no ponto, o limite ao ponto é o valor da função naquele ponto.

Passo 2

Observamos que a função exp(y^2) é contínua para todo y. Logo, conforme y to 0, temos y^2 to 0 e exp(y^2) to exp(0) = 1.
Para a função tan(xz), primeiro vemos que o argumento xz to pi cdot tfrac13 = tfracpi3 quando (x,z)to(pi,1/3). Além disso, tan(u) é contínua em u = tfracpi3, pois cos(tfracpi3)neq 0. Assim, tan(xz) to tan(tfracpi3) = raiz 3.

Passo 3

Como o produto de limites se dá pela multiplicação dos limites (quando existem e são finitos), concluímos que
lim(x,y,z)to(pi,0,1/3) e^y^2 tan(xz) = 1 cdot raiz3 = raiz3

Resposta

raiz3

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