Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de aproximação é
: isto é, e simultaneamente. - Observação prática: perto de
temos , então a potência está bem definida para próximo de .
Passo 2
Testando substituição direta: ao colocar
e
obtemos a expressão do tipo
que é uma forma indeterminada. Isso quer dizer que a expressão pode tender a vários valores dependendo de como
e
se aproximam; então precisamos transformar a expressão para obter um limite tratável.
Passo 3
Estratégia padrão para potências com indeterminação
: tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Defina
Se existir o limite de
e for finito, então
Calculemos
:
Passo 4
Reescrevendo a quantidade de forma útil:
Agora analisamos o limite de cada fator quando
:
- Pelo enunciado,
. - É um limite clássico que
(Justificativa rápida: é o valor da derivada de
em
, ou pode-se usar L’Hôpital:
.)
Como
e
, o produto tende a
Logo
Passo 5
Voltando da transformação logarítmica: como
, pela continuidade da exponencial
Portanto o limite existe e é
. Dá para pensar intuitivamente que a indeterminação
aqui “resolve” para
porque a razão
aproxima-se de
e
aproxima-se de
.