Calcule \lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)}(1+x)^{y / x}.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,2)}(1+x)^{y/x}.
Informações dadas:
  • A função considerada é (x,y)\mapsto(1+x)^{y/x}.
  • O ponto de aproximação é (0,2): isto é, x\to0 e y\to2 simultaneamente.
  • Observação prática: perto de x=0 temos 1+x>0, então a potência está bem definida para x próximo de 0.

Passo 2

Testando substituição direta: ao colocar x=0 e y=2 obtemos a expressão do tipo
(1+0)^{2/0}=1^{\infty},
que é uma forma indeterminada. Isso quer dizer que a expressão pode tender a vários valores dependendo de como x e y se aproximam; então precisamos transformar a expressão para obter um limite tratável.

Passo 3

Estratégia padrão para potências com indeterminação 1^{\infty}: tomar o logaritmo natural para transformar potência em produto. Defina
f(x,y)=(1+x)^{y/x},\qquad L=\lim_{(x,y)\to(0,2)}f(x,y).
Se existir o limite de \ln f(x,y) e for finito, então
L=\exp\Big(\lim_{(x,y)\to(0,2)}\ln f(x,y)\Big).
Calculemos \ln f(x,y):
\ln f(x,y)=\frac{y}{x}\,\ln(1+x).

Passo 4

Reescrevendo a quantidade de forma útil:
\frac{y}{x}\,\ln(1+x)=y\cdot\frac{\ln(1+x)}{x}.
Agora analisamos o limite de cada fator quando (x,y)\to(0,2):
  • Pelo enunciado, y\to2.
  • É um limite clássico que
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
(Justificativa rápida: é o valor da derivada de \ln(1+x) em x=0, ou pode-se usar L’Hôpital: \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1/(1+x)}{1}=1.)
Como \frac{\ln(1+x)}{x}\to1 e y\to2, o produto tende a
\lim_{(x,y)\to(0,2)} y\cdot\frac{\ln(1+x)}{x}=2\cdot 1=2.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,2)}\ln f(x,y)=2.

Passo 5

Voltando da transformação logarítmica: como \ln f(x,y)\to2, pela continuidade da exponencial
\lim_{(x,y)\to(0,2)}f(x,y)=\exp(2)=e^{2}.
Portanto o limite existe e é e^{2}. Dá para pensar intuitivamente que a indeterminação 1^{\infty} aqui “resolve” para e^{2} porque a razão \ln(1+x)/x aproxima-se de 1 e y aproxima-se de 2.

Resposta

e^{2}

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