Mostre que não existe
. Sugestão: considere limites ao longo das retas
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função é
, definida para todo com . - A sugestão é considerar limites ao longo das retas
.
O objetivo é concluir, de forma rigorosa e didática, que o limite emnão existe.
Passo 2
O que significa “não existe limite” aqui? Vou explicar de forma bem direta.
A definição (intuição útil para a prova): se existir , então para qualquer caminho (sequência de pontos) que leve
a
os valores
devem tender ao mesmo número
. Portanto, uma maneira simples de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos distintos que chegam a
cujos limites de
sejam diferentes. Se isso ocorrer, não existe um único
comum e o limite global não existe.
Vamos usar exatamente essa ideia: calcular o limite de ao longo de diferentes retas que passam pela origem e comparar os resultados.
A definição (intuição útil para a prova): se existir
Vamos usar exatamente essa ideia: calcular o limite de
Passo 3
Limite ao longo da reta
com
finito.
Considere pontos na reta com
. Substituindo
em
:
Considere pontos na reta
Usando a propriedade
, temos
Fatorando
no denominador (note que para
isso é permitido):
Observação importante: o termo do lado direito não depende de
— é uma constante (para cada
fixo). Portanto, quando
se aproxima de
pela reta
(isto é, quando
mantendo
), os valores de
permanecem sempre iguais a
. Logo o limite ao longo dessa reta é
Exemplos concretos para fixar a ideia:
- Se
(reta ), o limite é . - Se
(reta ), o limite é . - Se
, o limite é .
Isso já mostra que diferentes valores depodem produzir limites diferentes.
Passo 4
Limite ao longo da reta
(e relação com
).
Considere agora a reta vertical . Para pontos com
e
,
Considere agora a reta vertical
Portanto, ao aproximar
de
pela reta
(isto é,
com
), obtemos
Observação: a reta
corresponde ao “caso” em que a razão
é infinita, isto é,
tende a
. O cálculo direto mostra que esse caminho dá limite
, diferente do caso
que deu
.
Passo 5
Conclusão usando caminhos com limites diferentes.
Encontramos:
Encontramos:
- Pela reta
(isto é, ): . - Pela reta
: .
Esses dois limites são distintos. Pelo teste de dependência de caminho (ou contrapositivo da definição de limite), isso implica que não existe um único valortal que quando . Portanto o limite não existe.
Resposta
Não existe o limite
.