Mostre que não existe \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{|x|}{|x|+|y|}. Sugestão: considere limites ao longo das retas y=m x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{|x|}{|x|+|y|}.
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{|x|}{|x|+|y|}, definida para todo (x,y) com |x|+|y|>0.
  • A sugestão é considerar limites ao longo das retas y=m x.
    O objetivo é concluir, de forma rigorosa e didática, que o limite em (0,0) não existe.

Passo 2

O que significa “não existe limite” aqui? Vou explicar de forma bem direta.
A definição (intuição útil para a prova): se existir \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=L, então para qualquer caminho (sequência de pontos) que leve (x,y) a (0,0) os valores f(x,y) devem tender ao mesmo número L. Portanto, uma maneira simples de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos distintos que chegam a (0,0) cujos limites de f sejam diferentes. Se isso ocorrer, não existe um único L comum e o limite global não existe.
Vamos usar exatamente essa ideia: calcular o limite de f ao longo de diferentes retas que passam pela origem e comparar os resultados.

Passo 3

Limite ao longo da reta y=mx com m finito.
Considere pontos na reta y=mx com x\neq0. Substituindo y=mx em f:
f(x,mx)=\frac{|x|}{|x|+|mx|}.
Usando a propriedade |mx|=|m||x|, temos
f(x,mx)=\frac{|x|}{|x|+|m||x|}.
Fatorando |x| no denominador (note que para x\neq0 isso é permitido):
f(x,mx)=\frac{|x|}{|x|\bigl(1+|m|\bigr)}=\frac{1}{1+|m|}.
Observação importante: o termo do lado direito não depende de x — é uma constante (para cada m fixo). Portanto, quando (x,y) se aproxima de (0,0) pela reta y=mx (isto é, quando x\to0 mantendo y=mx), os valores de f permanecem sempre iguais a \dfrac{1}{1+|m|}. Logo o limite ao longo dessa reta é
\lim_{x\to0} f(x,mx)=\frac{1}{1+|m|}.
Exemplos concretos para fixar a ideia:
  • Se m=0 (reta y=0), o limite é \dfrac{1}{1+0}=1.
  • Se m=1 (reta y=x), o limite é \dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}.
  • Se m=2, o limite é \dfrac{1}{3}.
    Isso já mostra que diferentes valores de m podem produzir limites diferentes.

Passo 4

Limite ao longo da reta x=0 (e relação com m\to\infty).
Considere agora a reta vertical x=0. Para pontos com x=0 e y\neq0,
f(0,y)=\frac{|0|}{|0|+|y|}=0.
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pela reta x=0 (isto é, y\to0 com x=0), obtemos
\lim_{y\to0} f(0,y)=0.
Observação: a reta x=0 corresponde ao “caso” em que a razão |y|/|x| é infinita, isto é, m tende a \infty. O cálculo direto mostra que esse caminho dá limite 0, diferente do caso m=0 que deu 1.

Passo 5

Conclusão usando caminhos com limites diferentes.
Encontramos:
  • Pela reta y=0 (isto é, m=0): \lim f=1.
  • Pela reta x=0: \lim f=0.
    Esses dois limites são distintos. Pelo teste de dependência de caminho (ou contrapositivo da definição de limite), isso implica que não existe um único valor L tal que f(x,y)\to L quando (x,y)\to(0,0). Portanto o limite não existe.

Resposta

Não existe o limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{|x|}{|x|+|y|}.

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