CR5 A função
está definida para
.
(a) É possível estender o domínio de
para todo
de tal modo que o resultado seja uma função contínua?
(b) Use um sistema algébrico computacional para esboçar o gráfico de
. O resultado confirma sua conclusão em (a)?
(a) É possível estender o domínio de
(b) Use um sistema algébrico computacional para esboçar o gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida somente quando
. Há duas perguntas:
- (a) É possível estender o domínio de
para todo de modo que a função estendida seja contínua? - (b) Fazer um esboço do gráfico usando um sistema algébrico computacional (CAS) e dizer se o gráfico confirma a conclusão de (a).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão
está bem definida sempre que . - Precisamos estudar o comportamento de
quando , isto é, perto dos pontos onde ou (incluindo a origem).
Passo 2
Ideia-chave para (a): a quantidade que aparece dentro do seno e no denominador é
. Se eu mostrar que
então sempre que
tender a um ponto onde
a quantidade
tenderá a
e o quociente
tenderá a
. Vou usar essa redução para analisar os limites em qualquer ponto com
.
Antes de usar essa redução, vamos lembrar e provar por que
.
Passo 3
Prova do limite de uma variável
(fórmula clássica).
- Para
real com vale a desigualdade geométrica
Dividindo por
obtemos
Como
, a desigualdade
implica
Agora, quando
temos
. Pelos dois lados (squeeze theorem) segue que
Para
observe que
é função par (pois
), logo o limite quando
é igual ao limite por direita. Assim
Passo 4
Aplicando a redução para a função de duas variáveis. Seja um ponto
tal que
. Considere a função produto
A função
é contínua em todo
, logo
Agora considere a função univariada
definida para
e estendendo
. Do Passo 3 sabemos que
, ou seja,
estendida por
é contínua em
.
Como
quando
e
é contínua em
, a composição
satisfaz
Mas
para
. Portanto o limite de
ao aproximar qualquer ponto com
é
.
Passo 5
Construção explícita da extensão contínua: definir a função
Pelo argumento do Passo 4, para qualquer ponto
tem-se
. Em pontos onde
a expressão original já é contínua. Logo
é contínua em todo
. Assim a resposta a (a) é afirmativa: é possível estender e a extensão é dada pela atribuição do valor
nas retas
e
.]
Passo 6
Observação auxiliar sobre comportamento global da superfície: a função
A curva univariada
em
, e para
grandes oscila com amplitude que decai como
. No plano
os níveis
são hipérboles, portanto a superfície tem “cristas” e “vales” ao longo dessas hipérboles, mas sempre tende ao valor
quando
(isto é, ao aproximar-se dos eixos).]
Passo 7
Como fazer o esboço no CAS (exemplos de comandos e interpretação). Aqui estão sugestões práticas; execute-as no seu software preferido (Mathematica, Octave/Matlab, Python/Matplotlib, GeoGebra, etc.):
- Em Python (matplotlib + numpy + mpl_toolkits):
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt
def F(x,y):
u = x*y
# evitar divisão por zero: usar limite 1 quando u muito pequeno
return np.where(np.abs(u)>1e-12, np.sin(u)/u, 1.0)
x = np.linspace(-4,4,300)
y = np.linspace(-4,4,300)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
Z = F(X,Y)
fig = plt.figure(figsize=(8,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X,Y,Z, cmap='viridis', rcount=200, ccount=200, linewidth=0, antialiased=True)
ax.set_xlabel('x'); ax.set_ylabel('y'); ax.set_zlabel('F(x,y)')
plt.show()
- Em Mathematica:
F[x_,y_]:=If[x*y==0,1,Sin[x*y]/(x*y)]
Plot3D[F[x,y],{x,-4,4},{y,-4,4},PlotRange->All]
- Em GeoGebra ou WolframAlpha faça a plotagem de
e, se possível, peça que o CAS use o valor limite em (em Python a função np.whereacima já cuida disto).
Passo 8
Interpretação do esboço e confirmação de (a). O gráfico que o CAS produz mostra:
- Ao longo dos eixos
e a superfície toma o valor (ou aproxima-se muito de se o ponto exato foi omitido numericamente). - Próximo dos eixos a superfície se aproxima de
suavemente. - Fora dos eixos a superfície oscila conforme
com amplitude decrescente em relação ao módulo de .
Portanto o esboço obtido em um CAS confirma a conclusão de (a): a extensão por
em
é a escolha natural que torna a função contínua em todo
.
Resposta
(a) Sim. Estendendo por
quando
a função fica contínua em
.
(b) Sim. Um esboço feito em um CAS (comando exemplo fornecido) mostra que a superfície tende a ao aproximar-se das retas
e
(incluindo a origem), confirmando a conclusão de (a).
(b) Sim. Um esboço feito em um CAS (comando exemplo fornecido) mostra que a superfície tende a