CR5 A função f(x, y)=\frac{\operatorname{sen}(x y)}{x y} está definida para x y \neq 0.
(a) É possível estender o domínio de f(x, y) para todo \mathbf{R}^{2} de tal modo que o resultado seja uma função contínua?
(b) Use um sistema algébrico computacional para esboçar o gráfico de f(x, y). O resultado confirma sua conclusão em (a)?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\dfrac{\sin(xy)}{xy} definida somente quando xy\neq0. Há duas perguntas:
  • (a) É possível estender o domínio de f para todo \mathbb{R}^2 de modo que a função estendida seja contínua?
  • (b) Fazer um esboço do gráfico usando um sistema algébrico computacional (CAS) e dizer se o gráfico confirma a conclusão de (a).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão \dfrac{\sin(xy)}{xy} está bem definida sempre que xy\neq0.
  • Precisamos estudar o comportamento de f(x,y) quando xy\to 0, isto é, perto dos pontos onde x=0 ou y=0 (incluindo a origem).

Passo 2

Ideia-chave para (a): a quantidade que aparece dentro do seno e no denominador é t=xy. Se eu mostrar que
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,
então sempre que (x,y) tender a um ponto onde xy=0 a quantidade xy tenderá a 0 e o quociente \dfrac{\sin(xy)}{xy} tenderá a 1. Vou usar essa redução para analisar os limites em qualquer ponto com xy=0.
Antes de usar essa redução, vamos lembrar e provar por que \lim_{t\to0}\dfrac{\sin t}{t}=1.

Passo 3

Prova do limite de uma variável \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1 (fórmula clássica).
  • Para t real com 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica
\sin t < t < \tan t.
Dividindo por t>0 obtemos
\frac{\sin t}{t} < 1 < \frac{\tan t}{t}.
Como \tan t = \dfrac{\sin t}{\cos t}, a desigualdade \frac{\sin t}{t} < 1 < \frac{\sin t}{t}\cdot\frac{1}{\cos t} implica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Agora, quando t\to0^+ temos \cos t \to 1. Pelos dois lados (squeeze theorem) segue que
\lim_{t\to0^+}\frac{\sin t}{t}=1.
Para t<0 observe que \dfrac{\sin t}{t} é função par (pois \sin(-t)/(-t)=\sin t/t), logo o limite quando t\to0^- é igual ao limite por direita. Assim
\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 4

Aplicando a redução para a função de duas variáveis. Seja um ponto (x_0,y_0) tal que x_0y_0=0. Considere a função produto
g(x,y)=xy.
A função g é contínua em todo \mathbb{R}^2, logo
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}g(x,y)=g(x_0,y_0)=x_0y_0=0.
Agora considere a função univariada h(t)=\dfrac{\sin t}{t} definida para t\neq0 e estendendo h(0)=1. Do Passo 3 sabemos que \lim_{t\to0}h(t)=1, ou seja, h estendida por h(0)=1 é contínua em t=0.
Como g(x,y)\to0 quando (x,y)\to(x_0,y_0) e h é contínua em 0, a composição h\circ g satisfaz
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} h(g(x,y)) = h\!\left(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} g(x,y)\right) = h(0)=1.
Mas h(g(x,y))=\dfrac{\sin(xy)}{xy} para xy\neq0. Portanto o limite de \dfrac{\sin(xy)}{xy} ao aproximar qualquer ponto com xy=0 é 1.

Passo 5

Construção explícita da extensão contínua: definir a função F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) por \[F(x,y)= \begin{cases} \dfrac{\sin(xy)}{xy}, & \text{se }xy\neq0,\\[6pt] 1, & \text{se }xy=0. \end{cases}
Pelo argumento do Passo 4, para qualquer ponto (x_0,y_0)\] com \(x_0y_0=0 tem-se \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}F(x,y)=1=F(x_0,y_0). Em pontos onde xy\neq0 a expressão original já é contínua. Logo F é contínua em todo \mathbb{R}^2. Assim a resposta a (a) é afirmativa: é possível estender e a extensão é dada pela atribuição do valor 1 nas retas x=0 e y=0.]

Passo 6

Observação auxiliar sobre comportamento global da superfície: a função F(x,y)\) depende apenas do produto \(u=xy\). Ou seja, \(F(x,y)=\varphi(u)\) com \[\varphi(u)= \begin{cases} \dfrac{\sin u}{u}, & u\neq0,\\[4pt] 1, & u=0. \end{cases}
A curva univariada \varphi(u)\] tem valor \(1 em u=0, e para |u| grandes oscila com amplitude que decai como 1/|u|. No plano (x,y) os níveis \{(x,y):xy=\text{const}\} são hipérboles, portanto a superfície tem “cristas” e “vales” ao longo dessas hipérboles, mas sempre tende ao valor 1 quando xy\to0 (isto é, ao aproximar-se dos eixos).]

Passo 7

Como fazer o esboço no CAS (exemplos de comandos e interpretação). Aqui estão sugestões práticas; execute-as no seu software preferido (Mathematica, Octave/Matlab, Python/Matplotlib, GeoGebra, etc.):
  • Em Python (matplotlib + numpy + mpl_toolkits):
import numpy as np
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import matplotlib.pyplot as plt

def F(x,y):
    u = x*y
    # evitar divisão por zero: usar limite 1 quando u muito pequeno
    return np.where(np.abs(u)>1e-12, np.sin(u)/u, 1.0)

x = np.linspace(-4,4,300)
y = np.linspace(-4,4,300)
X,Y = np.meshgrid(x,y)
Z = F(X,Y)

fig = plt.figure(figsize=(8,6))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
ax.plot_surface(X,Y,Z, cmap='viridis', rcount=200, ccount=200, linewidth=0, antialiased=True)
ax.set_xlabel('x'); ax.set_ylabel('y'); ax.set_zlabel('F(x,y)')
plt.show()
  • Em Mathematica:
F[x_,y_]:=If[x*y==0,1,Sin[x*y]/(x*y)]
Plot3D[F[x,y],{x,-4,4},{y,-4,4},PlotRange->All]
  • Em GeoGebra ou WolframAlpha faça a plotagem de z=\sin(x y)/(x y) e, se possível, peça que o CAS use o valor limite 1 em xy=0 (em Python a função np.where acima já cuida disto).

Passo 8

Interpretação do esboço e confirmação de (a). O gráfico que o CAS produz mostra:
  • Ao longo dos eixos x=0 e y=0 a superfície toma o valor 1 (ou aproxima-se muito de 1 se o ponto exato foi omitido numericamente).
  • Próximo dos eixos a superfície se aproxima de 1 suavemente.
  • Fora dos eixos a superfície oscila conforme \sin(xy)/(xy) com amplitude decrescente em relação ao módulo de xy.
Portanto o esboço obtido em um CAS confirma a conclusão de (a): a extensão por 1 em xy=0 é a escolha natural que torna a função contínua em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

(a) Sim. Estendendo por F(x,y)=1 quando xy=0 a função fica contínua em \mathbb{R}^2.
(b) Sim. Um esboço feito em um CAS (comando exemplo fornecido) mostra que a superfície tende a 1 ao aproximar-se das retas x=0 e y=0 (incluindo a origem), confirmando a conclusão de (a).

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