Calcule o limite abaixo:
\lim _{n \rightarrow 0} \frac{e^{n}-1}{n^{3}}
(A) 1
(B) -\infty
(C) +\infty
(D) 0
(E) e^{2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{n\to 0}\frac{e^{n}-1}{n^{3}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função no numerador é e^{n}-1.
  • O denominador é n^{3}.
  • Quando n\to 0, o numerador tende a 0 porque e^{0}-1=0.
  • Quando n\to 0, o denominador tende a 0 porque 0^{3}=0.
  • Logo, a expressão tem a forma indeterminada do tipo 0/0, o que permite usar técnicas como a Regra de L’Hôpital ou expansão em série de Taylor para avaliar o limite.

Passo 2

Vou aplicar primeiro a Regra de L’Hôpital (porque é direta aqui). Antes de aplicar, um lembrete didático sobre a regra:
  • A Regra de L’Hôpital afirma que se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 (ou ambos \pm\infty) e f e g são diferenciáveis próximos de a com g'(x)\neq 0 perto de a, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que o limite do lado direito exista (ou seja \pm\infty).
  • Aqui temos f(n)=e^{n}-1 e g(n)=n^{3}, ambos diferenciáveis e f(0)=g(0)=0, então podemos aplicar.

Passo 3

Aplicando a Regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador uma vez:
  • f'(n)=\frac{d}{dn}\big(e^{n}-1\big)=e^{n}.
  • g'(n)=\frac{d}{dn}\big(n^{3}\big)=3n^{2}.
    Portanto, pela regra,
\lim_{n\to 0}\frac{e^{n}-1}{n^{3}}=\lim_{n\to 0}\frac{e^{n}}{3n^{2}}.

Passo 4

Agora analisar o limite \displaystyle\lim_{n\to 0}\frac{e^{n}}{3n^{2}}.
  • Quando n\to 0 temos e^{n}\to e^{0}=1.
  • O denominador 3n^{2} tende a 0, e como n^{2}\ge 0 para n próximo de 0 (tanto à direita quanto à esquerda), 3n^{2} aproxima-se de 0 por valores positivos.
  • Uma fração cujo numerador tende a um número positivo fixo ( 1) e cujo denominador tende a 0 por valores positivos diverge para +\infty.
    Portanto o limite da expressão transformada é +\infty, isto é, a expressão original diverge para +\infty.

Passo 5

Método alternativo (útil para entendimento): expansão de Taylor de e^{n} em torno de 0.
  • A série de Taylor de e^{n} é
e^{n}=1+n+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{6}+\frac{n^{4}}{24}+\cdots.
  • Subtraindo 1 e dividindo por n^{3} obtém-se
\frac{e^{n}-1}{n^{3}}=\frac{n}{n^{3}}+\frac{n^{2}}{2n^{3}}+\frac{n^{3}}{6n^{3}}+\frac{n^{4}}{24n^{3}}+\cdots =\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{6}+\frac{n}{24}+\cdots.
  • Ao fazer n\to 0, os termos \frac{1}{n^{2}} e \frac{1}{2n} dominam e levam a divergência; em particular \frac{1}{n^{2}}\to +\infty (positivo para ambos os lados), confirmando que o limite é +\infty.

Passo 6

Interpretação e dica para a prova:
  • Sempre que o numerador tem crescimento da ordem n (ou apenas uma soma de potências com menor grau) e o denominador tem uma potência maior (aqui n^{3}), a razão tende a divergir; usar L’Hôpital uma vez já mostrou isso neste caso.
  • Se ficar na dúvida, pense na expansão de Taylor: o termo de menor ordem no numerador determina o comportamento dominante quando dividir por uma potência maior do denominador.

Resposta

(C) +\infty

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