Calcule o limite abaixo:
(A) 1
(B)
(C)
(D) 0
(E)
(A) 1
(B)
(C)
(D) 0
(E)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. - Quando
, o numerador tende a porque . - Quando
, o denominador tende a porque . - Logo, a expressão tem a forma indeterminada do tipo
, o que permite usar técnicas como a Regra de L’Hôpital ou expansão em série de Taylor para avaliar o limite.
Passo 2
Vou aplicar primeiro a Regra de L’Hôpital (porque é direta aqui). Antes de aplicar, um lembrete didático sobre a regra:
- A Regra de L’Hôpital afirma que se
e (ou ambos ) e e são diferenciáveis próximos de com perto de , então
desde que o limite do lado direito exista (ou seja
).
- Aqui temos
e , ambos diferenciáveis e , então podemos aplicar.
Passo 3
Aplicando a Regra de L’Hôpital diferenciando numerador e denominador uma vez:
-
. -
.
Portanto, pela regra,
Passo 4
Agora analisar o limite
.
- Quando
temos . - O denominador
tende a , e como para próximo de (tanto à direita quanto à esquerda), aproxima-se de por valores positivos. - Uma fração cujo numerador tende a um número positivo fixo (
) e cujo denominador tende a por valores positivos diverge para .
Portanto o limite da expressão transformada é, isto é, a expressão original diverge para .
Passo 5
Método alternativo (útil para entendimento): expansão de Taylor de
em torno de
.
- A série de Taylor de
é
- Subtraindo
e dividindo por obtém-se
- Ao fazer
, os termos e dominam e levam a divergência; em particular (positivo para ambos os lados), confirmando que o limite é .
Passo 6
Interpretação e dica para a prova:
- Sempre que o numerador tem crescimento da ordem
(ou apenas uma soma de potências com menor grau) e o denominador tem uma potência maior (aqui ), a razão tende a divergir; usar L’Hôpital uma vez já mostrou isso neste caso. - Se ficar na dúvida, pense na expansão de Taylor: o termo de menor ordem no numerador determina o comportamento dominante quando dividir por uma potência maior do denominador.
Resposta
(C)