Questão 2: Resolva a equação quadrática
. Quais são as raízes?
Passo 1
O enunciado dá a equação quadrática
e pergunta: quais são as raízes (os valores de
que tornam a equação verdadeira)?
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Coeficiente
(do termo ) é . - Coeficiente
(do termo ) é . - Termo constante
é .
Passo 2
Vou tentar primeiro fatorar o polinômio, que é o método mais simples quando os coeficientes são inteiros pequenos. A fatoração procura dois números
e
tais que:
Note que
negativo e
positivo indicam que
e
devem ser ambos negativos (produto positivo, soma negativa). Procurando pares de inteiros com produto
:
soma
;
soma
. Então escolhemos
e
.
Passo 3
Com
e
podemos escrever o trinomio como produto de dois binômios:
Para resolver a equação
usamos a propriedade do produto nulo: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero.
Passo 4
Aplicando a propriedade do produto nulo obtemos as duas equações simples:
Portanto as raízes obtidas pela fatoração são
e
.
Passo 5
Vou mostrar também como obter as mesmas raízes usando a fórmula quadrática, para reforçar o conceito. Para qualquer polinómio
a solução é dada por
onde
é o discriminante. Aqui
,
,
, então
Substituindo na fórmula:
Logo
As duas raízes são
e
, em concordância com a fatoração.
Passo 6
Verificação rápida por substituição na equação original:
- Para
: . OK. - Para
: . OK.
Bom trabalho — as duas formas (fatoração e fórmula) chegam ao mesmo resultado; escolha a fatoração na prova quando for rápida como aqui, e use a fórmula quando a fatoração não for óbvia.