Questão 2: Resolva a equação quadrática x^{2}-5 x+6=0. Quais são as raízes?

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática x^{2}-5x+6=0 e pergunta: quais são as raízes (os valores de x que tornam a equação verdadeira)?
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficiente a (do termo x^{2}) é a=1.
  • Coeficiente b (do termo x) é b=-5.
  • Termo constante c é c=6.

Passo 2

Vou tentar primeiro fatorar o polinômio, que é o método mais simples quando os coeficientes são inteiros pequenos. A fatoração procura dois números p e q tais que:
p\cdot q = c = 6 \qquad\text{e}\qquad p+q = b = -5.
Note que b=-5 negativo e c=6 positivo indicam que p e q devem ser ambos negativos (produto positivo, soma negativa). Procurando pares de inteiros com produto 6: (-1,-6) soma -7; (-2,-3) soma -5. Então escolhemos p=-2 e q=-3.

Passo 3

Com p=-2 e q=-3 podemos escrever o trinomio como produto de dois binômios:
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
Para resolver a equação (x-2)(x-3)=0 usamos a propriedade do produto nulo: um produto é zero se e somente se pelo menos um dos fatores é zero.

Passo 4

Aplicando a propriedade do produto nulo obtemos as duas equações simples:
x-2=0 \quad\Rightarrow\quad x=2,
x-3=0 \quad\Rightarrow\quad x=3.
Portanto as raízes obtidas pela fatoração são x=2 e x=3.

Passo 5

Vou mostrar também como obter as mesmas raízes usando a fórmula quadrática, para reforçar o conceito. Para qualquer polinómio \,ax^{2}+bx+c=0 a solução é dada por
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante. Aqui a=1, b=-5, c=6, então
\Delta = (-5)^{2}-4\cdot1\cdot6 = 25-24 = 1,
\sqrt{\Delta}=\sqrt{1}=1.
Substituindo na fórmula:
x=\frac{-(-5)\pm 1}{2\cdot 1}=\frac{5\pm 1}{2}.
Logo
x=\frac{5+1}{2}=\frac{6}{2}=3, \qquad x=\frac{5-1}{2}=\frac{4}{2}=2.
As duas raízes são x=3 e x=2, em concordância com a fatoração.

Passo 6

Verificação rápida por substituição na equação original:
  • Para x=2: 2^{2}-5\cdot 2+6 = 4-10+6=0. OK.
  • Para x=3: 3^{2}-5\cdot 3+6 = 9-15+6=0. OK.
Bom trabalho — as duas formas (fatoração e fórmula) chegam ao mesmo resultado; escolha a fatoração na prova quando for rápida como aqui, e use a fórmula quando a fatoração não for óbvia.

Resposta

x=2
x=3

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