Calcule o limite abaixo usando as regras de LHospital:
lim x +infty(1+x)^1ln (x)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto+infty(1+x)^1ln(x)
Isso envolve uma função na forma f(x)^g(x), então vamos usar a transformação com logaritmo e depois aplicar a regra de L’Hospital para o expoente.

Passo 2

Defina
y(x) = (1+x)^1ln(x)
Tomando logaritmo natural de ambos os lados, obtemos
ln y(x) = ln(1+x)ln(x)
Logo
limxtoinftyy(x) = exp!l(limxtoinftyln y(x)r) = exp!l(limxtoinftyln(1+x)ln(x)r)

Passo 3

Analisamos o limite
L = limxtoinftyln(1+x)ln(x),
que é da forma tfracinftyinfty. Podemos então aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 4

Calculando as derivadas do numerador e do denominador:
- Derivada de ln(1+x) em relação a x é tfrac11+x.
- Derivada de ln(x) em relação a x é tfrac1x.
Pela regra de L’Hospital,
L = limxtoinfty ddxln(1+x)ddxln(x) = limxtoinfty11+x1x = limxtoinftyx1+x

Passo 5

O limite
limxtoinftyx1+x
é igual a 1. Portanto
limxtoinftyln y(x) = L = 1

Passo 6

Voltando de ln y(x) para y(x), temos
limxtoinftyy(x) = exp!l(limxtoinftyln y(x)r) = exp(1) = e

Resposta

e

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