Utilizando integrais triplas, calcule I=integralegral tripla(x cdot y cdot z^2) d V, no paralelepípedo:
B=(x, y, z) / 0 <= x <= 1,-1 <= y <= 2 e 0 <= z <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integrais triplas. A gente precisa calcular a integral I = integral tripla (x cdot y cdot z^2) , dV dentro do paralelepípedo definido por 0 <= x <= 1 , -1 <= y <= 2 e 0 <= z <= 3 . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável e como integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração. O paralelepípedo B está definido por:
  • x varia de 0 a 1
  • y varia de -1 a 2
  • z varia de 0 a 3
Isso significa que nossos limites de integração são claros para cada variável. Vamos montar a integral tripla com esses limites.

Passo 3

A integral tripla pode ser escrita como:
I = integral0^1 integral-1^2 integral0^3 x cdot y cdot z^2 , dz , dy , dx
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a z , depois em relação a y e, por último, em relação a x .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a z :
integral0^3 z^2 , dz = [ z^33 ]0^3 = 3^33 - 0^33 = 273 = 9
Então, a integral passa a ser:
I = integral0^1 integral-1^2 x cdot y cdot 9 , dy , dx

Passo 5

Simplificando, podemos tirar o 9 da integral:
I = 9 integral0^1 integral-1^2 x cdot y , dy , dx
Agora, vamos resolver a integral em relação a y :
integral-1^2 y , dy = [ y^22 ]-1^2 = 2^22 - (-1)^22 = 42 - 12 = 2 - 0,5 = 1,5
Substituindo de volta:
I = 9 integral0^1 x cdot 1,5 , dx = 13,5 integral0^1 x , dx

Passo 6

Agora, resolvendo a última integral em relação a x :
integral0^1 x , dx = [ x^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 - 0 = 0,5
Finalmente, multiplicamos pelos constantes que temos:
I = 13,5 times 0,5 = 6,75

Resposta

O valor da integral tripla I é 6,!75 .

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