Utilizando integrais triplas, calcule
, no paralelepípedo:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integrais triplas. A gente precisa calcular a integral
dentro do paralelepípedo definido por
,
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada variável e como integrar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração. O paralelepípedo
está definido por:
-
varia de 0 a 1 -
varia de -1 a 2 -
varia de 0 a 3
Isso significa que nossos limites de integração são claros para cada variável. Vamos montar a integral tripla com esses limites.
Passo 3
A integral tripla pode ser escrita como:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
, depois em relação a
e, por último, em relação a
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Então, a integral passa a ser:
Passo 5
Simplificando, podemos tirar o 9 da integral:
Agora, vamos resolver a integral em relação a
:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, resolvendo a última integral em relação a
:
Finalmente, multiplicamos pelos constantes que temos:
Resposta
O valor da integral tripla
é
.