Seguindo as etapas estudadas faça um esboço do gráfico da seguinte função: (é necessário deixar claro todo o estudo a respeito do comportamento da função.)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos fazer um esboço do gráfico da função
. Para isso, vamos analisar o comportamento da função examinando seu domínio, interceptos, assíntotas e como ela se comporta em diferentes intervalos de
. Vamos usar conceitos de análise de funções como limites, crescimento, decrescimento e pontos de inflexão para conseguir esboçar o gráfico corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Na função
, o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida. Então, resolvemos:
Portanto, o domínio da função é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função.
- Intercepto com o eixo
: ocorre quando .
Então, o intercepto com o eixo
é o ponto
.
- Intercepto com o eixo
: ocorre quando .
Portanto, o intercepto com o eixo
também é
.
Passo 4
Vamos identificar as assíntotas da função.
- Assíntota Vertical: ocorre onde a função não está definida, ou seja, em
.
Então, temos uma assíntota vertical em
.
- Assíntota Horizontal ou Oblíqua: analisamos o limite da função quando
tende ao infinito para identificar se há uma assíntota horizontal ou oblíqua.
Como ambos os limites tendem ao infinito, não há uma assíntota horizontal. Vamos então encontrar a assíntota oblíqua dividindo o numerador pelo denominador:
A função se aproxima de
para valores grandes de
, então a assíntota oblíqua é:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da função nos diferentes intervalos definidos pelas assíntotas e interceptos.
- Para
: - Exemplo:
- Exemplo:
- A função está abaixo do eixo
e tende para conforme se aproxima de 3 pelo lado esquerdo.
- Para
: - Exemplo:
- Exemplo:
- A função continua abaixo do eixo
e tende para conforme se aproxima de 3 pelo lado direito.
- Para
: - Exemplo:
- Exemplo:
- A função está acima do eixo
e cresce sem limites conforme aumenta, aproximando-se da assíntota oblíqua .
Além disso, sabemos que a função possui um ponto de inflexão em algum lugar próximo, mas para simplificarmos o esboço, focaremos nesses comportamentos principais.
Resposta
Com todas as análises feitas, o esboço do gráfico de
possui:
- Domínio:
- Intercepto: Ponto
- Assíntota Vertical:
- Assíntota Oblíqua:
O gráfico da função se comporta da seguinte forma:
- Para
, a função está abaixo do eixo e cresce em direção a à medida que se aproxima de . - Entre
, a função continua abaixo do eixo e tende para quando se aproxima de 3. - Para
, a função está acima do eixo e se aproxima da assíntota oblíqua conforme aumenta.
Com isso, você consegue esboçar o gráfico considerando esses pontos chave e o comportamento geral da função nos diferentes intervalos.