Seguindo as etapas estudadas faça um esboço do gráfico da seguinte função: (é necessário deixar claro todo o estudo a respeito do comportamento da função.)
f(x)=x^2x-3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos fazer um esboço do gráfico da função f(x) = x^2x - 3 . Para isso, vamos analisar o comportamento da função examinando seu domínio, interceptos, assíntotas e como ela se comporta em diferentes intervalos de x . Vamos usar conceitos de análise de funções como limites, crescimento, decrescimento e pontos de inflexão para conseguir esboçar o gráfico corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de x para os quais a função está definida. Na função f(x) = x^2x - 3 , o denominador não pode ser zero porque divisão por zero não é permitida. Então, resolvemos:
x - 3 neq 0 implies x neq 3
Portanto, o domínio da função é:
R setminus 3

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função.
  1. Intercepto com o eixo y : ocorre quando x = 0 .
f(0) = 0^20 - 3 = 0-3 = 0
Então, o intercepto com o eixo y é o ponto (0, 0) .
  1. Intercepto com o eixo x : ocorre quando f(x) = 0 .
x^2x - 3 = 0 implies x^2 = 0 implies x = 0
Portanto, o intercepto com o eixo x também é (0, 0) .

Passo 4

Vamos identificar as assíntotas da função.
  1. Assíntota Vertical: ocorre onde a função não está definida, ou seja, em x = 3 .
x = 3
Então, temos uma assíntota vertical em x = 3 .
  1. Assíntota Horizontal ou Oblíqua: analisamos o limite da função quando x tende ao infinito para identificar se há uma assíntota horizontal ou oblíqua.
limx to infty x^2x - 3 = limx to infty x^2x = limx to infty x = infty
limx to -infty x^2x - 3 = limx to -infty x^2x = limx to -infty -x = infty
Como ambos os limites tendem ao infinito, não há uma assíntota horizontal. Vamos então encontrar a assíntota oblíqua dividindo o numerador pelo denominador:
x^2x - 3 = x + 3 + 9x - 3
A função se aproxima de y = x + 3 para valores grandes de |x| , então a assíntota oblíqua é:
y = x + 3

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função nos diferentes intervalos definidos pelas assíntotas e interceptos.
  1. Para x < 0 :
    • Exemplo: x = -1
f(-1) = (-1)^2-1 - 3 = 1-4 = -0,25
  • A função está abaixo do eixo x e tende para +infty conforme x se aproxima de 3 pelo lado esquerdo.
  1. Para 0 < x < 3 :
    • Exemplo: x = 1
f(1) = 11 - 3 = -0,5
  • A função continua abaixo do eixo x e tende para -infty conforme x se aproxima de 3 pelo lado direito.
  1. Para x > 3 :
    • Exemplo: x = 4
f(4) = 164 - 3 = 16
  • A função está acima do eixo x e cresce sem limites conforme x aumenta, aproximando-se da assíntota oblíqua y = x + 3 .
Além disso, sabemos que a função possui um ponto de inflexão em algum lugar próximo, mas para simplificarmos o esboço, focaremos nesses comportamentos principais.

Resposta

Com todas as análises feitas, o esboço do gráfico de f(x) = x^2x - 3 possui:
  • Domínio: R setminus 3
  • Intercepto: Ponto (0, 0)
  • Assíntota Vertical: x = 3
  • Assíntota Oblíqua: y = x + 3
O gráfico da função se comporta da seguinte forma:
  • Para x < 0 , a função está abaixo do eixo x e cresce em direção a +infty à medida que se aproxima de x = 3 .
  • Entre 0 < x < 3 , a função continua abaixo do eixo x e tende para -infty quando x se aproxima de 3.
  • Para x > 3 , a função está acima do eixo x e se aproxima da assíntota oblíqua y = x + 3 conforme x aumenta.
Com isso, você consegue esboçar o gráfico considerando esses pontos chave e o comportamento geral da função nos diferentes intervalos.

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