Calcule o limite em cada caso.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,2)} \frac{x y-2 x}{x^{2} y^{2}-4 x^{2} y+4 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{(x,y)\to(0,2)} \frac{xy-2x}{x^{2}y^{2}-4x^{2}y+4x^{2}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão é a função racional \dfrac{xy-2x}{x^{2}y^{2}-4x^{2}y+4x^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)\to(0,2).
  • Avaliando diretamente em (0,2) obtemos numerador 0 e denominador 0, isto é, forma indeterminada 0/0 naquele ponto.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador para simplificar e enxergar melhor o comportamento perto de (0,2).
Numerador:
xy-2x = x(y-2).
Denominador: primeiro observe o fator comum x^{2}:
x^{2}y^{2}-4x^{2}y+4x^{2} = x^{2}\bigl(y^{2}-4y+4\bigr).
Agora note que y^{2}-4y+4 é um quadrado perfeito:
y^{2}-4y+4 = (y-2)^{2}.
Portanto
x^{2}y^{2}-4x^{2}y+4x^{2} = x^{2}(y-2)^{2}.

Passo 3

Substituindo as fatorações na razão original, para (x,y) tais que x\neq 0 e y\neq 2 (ou seja, afastados do ponto problemático), temos:
\frac{xy-2x}{x^{2}y^{2}-4x^{2}y+4x^{2}} = \frac{x(y-2)}{x^{2}(y-2)^{2}}.
Podemos cancelar um fator x e um fator (y-2) (desde que não sejam zero), obtendo a forma simplificada
\frac{1}{x(y-2)}.
Isto significa que, fora da linha x=0 e da reta y=2, a função se comporta como \dfrac{1}{x(y-2)}.

Passo 4

Para entender o limite quando (x,y)\to(0,2) precisamos estudar o comportamento de \dfrac{1}{x(y-2)} quando x\to 0 e y\to 2. O produto x(y-2) tende para 0, então a quantidade \dfrac{1}{x(y-2)} tende em módulo para +\infty. Porém, o sinal (positivo ou negativo) pode depender da forma como nos aproximamos de (0,2). Para concluir se existe limite (finito ou infinito) é útil verificar limites seguindo caminhos diferentes até (0,2).

Passo 5

Escolhemos o caminho y=2+x. Substituindo na forma simplificada:
\frac{1}{x(y-2)} = \frac{1}{x\bigl((2+x)-2\bigr)} = \frac{1}{x\cdot x} = \frac{1}{x^{2}}.
Quando x\to 0 (e portanto (x,y)\to(0,2) por esse caminho), temos
\frac{1}{x^{2}} \to +\infty.
Logo, ao aproximar por y=2+x a função tende a +\infty.

Passo 6

Agora escolhemos o caminho y=2-x. Substituindo:
\frac{1}{x(y-2)} = \frac{1}{x\bigl((2-x)-2\bigr)} = \frac{1}{x\cdot(-x)} = -\frac{1}{x^{2}}.
Quando x\to 0 por esse caminho, temos
-\frac{1}{x^{2}} \to -\infty.
Logo, ao aproximar por y=2-x a função tende a -\infty.

Passo 7

Como encontramos dois caminhos de aproximação para (0,2) que dão comportamentos diferentes (um tende a +\infty e outro a -\infty), não existe um único valor (nem mesmo infinito) para o limite quando (x,y)\to(0,2). Portanto o limite não existe.

Resposta

Não existe o limite.

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