Calcule o limite em cada caso.
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações relevantes dadas:
- A expressão é a função racional
. - O ponto de interesse é
. - Avaliando diretamente em
obtemos numerador e denominador , isto é, forma indeterminada naquele ponto.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador para simplificar e enxergar melhor o comportamento perto de
.
Numerador:
Denominador: primeiro observe o fator comum
:
Agora note que
é um quadrado perfeito:
Portanto
Passo 3
Substituindo as fatorações na razão original, para
tais que
e
(ou seja, afastados do ponto problemático), temos:
Podemos cancelar um fator
e um fator
(desde que não sejam zero), obtendo a forma simplificada
Isto significa que, fora da linha
e da reta
, a função se comporta como
.
Passo 4
Para entender o limite quando
precisamos estudar o comportamento de
quando
e
. O produto
tende para
, então a quantidade
tende em módulo para
. Porém, o sinal (positivo ou negativo) pode depender da forma como nos aproximamos de
. Para concluir se existe limite (finito ou infinito) é útil verificar limites seguindo caminhos diferentes até
.
Passo 5
Escolhemos o caminho
. Substituindo na forma simplificada:
Quando
(e portanto
por esse caminho), temos
Logo, ao aproximar por
a função tende a
.
Passo 6
Agora escolhemos o caminho
. Substituindo:
Quando
por esse caminho, temos
Logo, ao aproximar por
a função tende a
.
Passo 7
Como encontramos dois caminhos de aproximação para
que dão comportamentos diferentes (um tende a
e outro a
), não existe um único valor (nem mesmo infinito) para o limite quando
. Portanto o limite não existe.
Resposta
Não existe o limite.