Calcule o limite de cada uma das sequências abaixo:
(e) lim x +infty(n-1n+3)^5-4 n(R: e^16)

Passo 1

Nesse exercício, vamos calcular o limite da sequência an =(tfracn-1n+3)^5-4n quando nto+infty. O conteúdo aqui é o estudo de limites de sequências na forma (1+an)^bn, usando a ideia de que esse tipo de expressão tende a e^lim(an bn).

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a base da potência em forma de 1 + alguma coisa:
n-1n+3 = 1 - 4n+3

Passo 3

Em seguida, observamos que o expoente 5 - 4n pode ser rearranjado como
5 - 4n = -4(n+3) + 17

Passo 4

Com essas duas reescritas, dividimos a expressão em dois fatores:
(1 - 4n+3)^5-4n = (1 - 4n+3)^-4(n+3) cdot (1 - 4n+3)^17

Passo 5

Note que limntoinftyl(1 - tfrac4n+3r)^17 = 1, então o segundo fator não interfere no limite final. Agora focamos no primeiro fator. Definindo t = n+3, temos
(1 - 4n+3)^-4(n+3) = l(1 - 4tr)^-4t

Passo 6

Como sabemos que limttoinfty l(1 - 4/tr)^t = e^-4, segue que
limttoinfty l(1 - 4tr)^-4t = l(e^-4r)^-4 = e^16

Resposta

e^16

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