Calcule os seguintes limites, começando por identificar, caso exista, o tipo de indeterminação.
lim x 0 2 x^2+6 xx^3-4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto 0 2x^2+6xx^3-4x^2
Trata-se de um problema de limites envolvendo indeterminação do tipo 0/0, onde vamos usar fatoração de polinômios para simplificar a expressão.

Passo 2

Ao substituir x=0 em
2x^2+6xx^3-4x^2
obtemos 0/0, que é uma indeterminação. Quando isso acontece, não dá para saber o limite imediatamente, então precisamos reescrever a fração.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
Numerador: 2x^2+6x = 2x(x+3)
Denominador: x^3-4x^2 = x^2(x-4)
Com isso,
2x^2+6xx^3-4x^2 = 2x(x+3)x^2(x-4) = 2(x+3)x(x-4),
cancelando um fator x.

Passo 4

Agora avaliamos o comportamento para x se aproximando de 0 pelos dois lados:
Para xto 0^+:
2(x+3)approx 6>0 e x(x-4)approx 0cdot(-4)=0^-, logo a fração tende a -infty.
Para xto 0^-:
2(x+3)approx 6>0 e x(x-4)approx 0^-cdot(-4)=0^+, logo a fração tende a +infty.

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( -infty de um lado e +infty do outro), o limite de duas vias não existe.

Resposta

O limite não existe.

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