Calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
lim x -infty(x+raizx^2+3 x+2)

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando vai para menos infinito. Isso faz parte da matéria de limites no cálculo. Para resolver, vamos simplificar a expressão e entender como ela se comporta quando fica bem, bem grande e negativo.

Passo 2

Primeiro, olhe para a parte dentro da raiz: . Quando tende a menos infinito, o termo é muito maior que os outros ( e ), então a expressão dentro da raiz se aproxima de . Assim, fica parecido com .

Passo 3

Sabemos que raizx^2 + 3x + 2 approx -x . Como está indo para menos infinito (ou seja, é negativo), . Então, podemos substituir:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original:
x + raizx^2 + 3x + 2 approx x + (-x) = 0
Até aqui, parece que o limite seria 0, mas precisamos verificar com mais detalhes para ter certeza.

Passo 5

Vamos refinar a aproximação fatorando raizx^2 + 3x + 2 = |x| raiz1 + 3x + 2x^2 dentro da raiz:
raizx^2 + 3x + 2 = -x raiz1 + 3x + 2x^2
Como é negativo, . Então:

Passo 6

Agora, vamos expandir a raiz usando uma aproximação para funções próximas a 1:
raiz1 + 3x + 2x^2 approx 1 + 32x + 1x^2
Substituindo de volta:
-x (1 + 32x + 1x^2) = -x - 32 - 1x

Passo 7

Voltando à expressão original:
x + raizx^2 + 3x + 2 approx x + (-x - 32 - 1x) = -32 - 1x
Quando tende a menos infinito, o termo fica cada vez menor, aproximando-se de 0.

Resposta

O limite é .

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