lim x +infty raizx+raizxraizx+1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse problema está na área de cálculo, especificamente em limites no infinito com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo raízes e como comportam-se essas funções quando cresce para mais e mais infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro das raízes para facilitar o cálculo do limite. Observamos que tanto no numerador quanto no denominador temos termos que envolvem . Vamos fatorar de dentro das raízes para ver melhor o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 3

No numerador, temos raizx + raizx = raizx (1 + raizxx) = raizx cdot raiz1 + 1raizx . Podemos fatorar raizx + 1 = raizx (1 + 1x) = raizx cdot raiz1 + 1x dentro da raiz:
No denominador, temos , que também podemos fatorar:

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões de volta na fração original:
raizx cdot raiz1 + 1raizxraizx cdot raiz1 + 1x = raiz1 + 1raizxraiz1 + 1x
Aqui, o do numerador e denominador se cancelam.

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite dessa nova expressão quando limx to +infty raiz1 + 1raizxraiz1 + 1x tende ao infinito:
limx to +infty raiz1 + 0raiz1 + 0 = raiz1raiz1 = 11 = 1
Quando tende ao infinito, e tendem a zero. Portanto, podemos simplificar:

Resposta

O limite é igual a 1.

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