calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado:\n
- Pede-se o valor do limite
.\n - A expressão é o produto de
(que está definida e é não negativa para ) e de (sempre positiva, pois a exponencial é positiva para qualquer argumento).\n - Informações relevantes que já podemos usar (vindas das propriedades das funções envolvidas):
-
satisfaz para todo . - A função exponencial
é crescente (monótona crescente). -
.\n
-
Passo 2
Usar a faixa de valores do seno para obter uma desigualdade para
.\n
Pela propriedade do seno temos, para todo ,
Pela propriedade do seno temos, para todo
Passo 3
Aplicar a monotonicidade da exponencial para transformar a desigualdade do seno em desigualdade envolvendo a exponencial.\n
Como é crescente, aplicando
aos três termos da desigualdade obtemos, para todo
,
Como
Passo 4
Multiplicar a desigualdade pelo fator
.\n
Para temos
, então multiplicar mantém as desigualdades:
Para
Passo 5
Calcular os limites das funções que formam as barreiras (as funções à esquerda e à direita).\n
Sabendo que e que
e
são constantes, segue
Sabendo que
Passo 6
Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).\n
Temos uma função que está presa entre duas funções que tendem ao mesmo limite
quando
. Pelo Teorema do Confronto,
Temos uma função