calcule o limite, caso exista. Caso não exista, justifique.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} e^{\sin (\pi / x)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado:\n
  • Pede-se o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\,e^{\sin(\pi/x)}.\n
  • A expressão é o produto de \sqrt{x} (que está definida e é não negativa para x\ge0) e de e^{\sin(\pi/x)} (sempre positiva, pois a exponencial é positiva para qualquer argumento).\n
  • Informações relevantes que já podemos usar (vindas das propriedades das funções envolvidas):
    • \sin(\theta) satisfaz -1 \le \sin(\theta) \le 1 para todo \theta.
    • A função exponencial t\mapsto e^{t} é crescente (monótona crescente).
    • \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=0.\n

Passo 2

Usar a faixa de valores do seno para obter uma desigualdade para \sin(\pi/x).\n
Pela propriedade do seno temos, para todo x\neq 0,
-1 \le \sin\!\bigl(\pi/x\bigr) \le 1.

Passo 3

Aplicar a monotonicidade da exponencial para transformar a desigualdade do seno em desigualdade envolvendo a exponencial.\n
Como e^{t} é crescente, aplicando e^{(\cdot)} aos três termos da desigualdade obtemos, para todo x\neq 0,
e^{-1} \le e^{\sin(\pi/x)} \le e^{1}.

Passo 4

Multiplicar a desigualdade pelo fator \sqrt{x}.\n
Para x>0 temos \sqrt{x}\ge 0, então multiplicar mantém as desigualdades:
e^{-1}\sqrt{x} \le \sqrt{x}\,e^{\sin(\pi/x)} \le e^{1}\sqrt{x},\qquad \text{para }x>0.

Passo 5

Calcular os limites das funções que formam as barreiras (as funções à esquerda e à direita).\n
Sabendo que \displaystyle \lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=0 e que e^{-1} e e^{1} são constantes, segue
\lim_{x\to 0^{+}} e^{-1}\sqrt{x} = e^{-1}\cdot 0 = 0, \qquad \lim_{x\to 0^{+}} e^{1}\sqrt{x} = e^{1}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Aplicar o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).\n
Temos uma função \sqrt{x}\,e^{\sin(\pi/x)} que está presa entre duas funções que tendem ao mesmo limite 0 quando x\to 0^{+}. Pelo Teorema do Confronto,
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\,e^{\sin(\pi/x)} = 0.

Resposta

0

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