Se
para todo
e
, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
não existe
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
para todo . -
.
A pergunta a verificar é se a afirmativa
é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Vamos entender o que significa dizer que
existe ou não. Intuitivamente, a existência do limite quando
depende do comportamento dos valores
para
próximos de
(mas com
). O valor de
em pontos distantes de
— por exemplo em
— não impõe diretamente nada sobre o limite em
.
Formalmente,
quer dizer que para todo
existe
tal que, sempre que
, tem-se
. Note que nesta definição não aparece
a menos que
esteja dentro do intervalo
; mas mesmo se estiver, o requisito é sobre
com
arbitrariamente próximo de
, não sobre posições isoladas.
Portanto, a condição
para
não garante por si só que o limite em
não exista — ela apenas diz que, se houver limite, ele será um número
(na verdade
se os valores não se aproximarem de
). Para decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa precisamos ver se é impossível (sob as hipóteses) que
exista. Se for possível construir uma função que satisfaça as hipóteses e tenha limite em
, então a afirmativa “o limite não existe” é falsa (um único contra-exemplo basta).
Passo 3
Construção de um contra-exemplo simples em que o limite em [1) existe.
Defina
Verificações:
- Para todo
, logo a hipótese
para está satisfeita. -
por definição, também satisfeito.
Agora calculemos
. Para todo
suficientemente próximo de
(e com
) temos
. Assim, para qualquer
basta escolher qualquer
(por exemplo
) e então, sempre que
, vale
Isso mostra que
. Portanto, nesta função o limite em
existe.
Esse contra-exemplo é suficiente para provar que a afirmativa "
não existe" é falsa (pois existe ao menos uma função que satisfaz as hipóteses e tem limite em
).]
Passo 4
Para reforçar a ideia: as hipóteses do enunciado permitem tanto casos em que o limite em
Aqui, para
, logo
para
, e
. Mas
não existe porque
oscila quando
; por exemplo, há sequências
com
e outras com
, logo não há um único limite.
Assim, as hipóteses são compatíveis com ambos os comportamentos (existência ou não do limite em
), portanto a afirmativa universal de que “o limite não existe” é falsa.]
Passo 5
Conclusão: a afirmativa é falsa e o contra-exemplo dado em
Resposta
Falsa.