Se f(x)>0 para todo x \neq 2 e f(2)=-3, verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso seja verdadeira, apresente uma justificativa. Caso seja falsa, apresente um contra-exemplo.
\lim _{x \rightarrow 1} f(x) não existe

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • f(x)>0 para todo x\neq2.
  • f(2)=-3.
A pergunta a verificar é se a afirmativa
\lim_{x\to1} f(x)\\ \text{não existe}ã
é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Vamos entender o que significa dizer que \lim_{x\to1} f(x) existe ou não. Intuitivamente, a existência do limite quando x\to1 depende do comportamento dos valores f(x) para x próximos de 1 (mas com x\neq1). O valor de f em pontos distantes de 1 — por exemplo em x=2 — não impõe diretamente nada sobre o limite em 1.
Formalmente, \lim_{x\to1} f(x)=L quer dizer que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, tem-se |f(x)-L|<\varepsilon. Note que nesta definição não aparece f(2) a menos que 2 esteja dentro do intervalo (1-\delta,1+\delta); mas mesmo se estiver, o requisito é sobre x com x arbitrariamente próximo de 1, não sobre posições isoladas.
Portanto, a condição f(x)>0 para x\neq2 não garante por si só que o limite em 1 não exista — ela apenas diz que, se houver limite, ele será um número \ge 0 (na verdade >0 se os valores não se aproximarem de 0). Para decidir se a afirmativa é verdadeira ou falsa precisamos ver se é impossível (sob as hipóteses) que \lim_{x\to1} f(x) exista. Se for possível construir uma função que satisfaça as hipóteses e tenha limite em 1, então a afirmativa “o limite não existe” é falsa (um único contra-exemplo basta).

Passo 3

Construção de um contra-exemplo simples em que o limite em [1) existe.
Defina
f(x)=\begin{cases} 1, & x\neq 2,\\[4pt] -3, & x=2. \end{cases}
Verificações:
  • Para todo x\neq2\] tem-se \(f(x)=1>0, logo a hipótese f(x)>0 para x\neq2 está satisfeita.
  • f(2)=-3 por definição, também satisfeito.
Agora calculemos \lim_{x\to1} f(x). Para todo x suficientemente próximo de 1 (e com x\neq1) temos f(x)=1. Assim, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher qualquer \delta>0 (por exemplo \delta=1) e então, sempre que 0<|x-1|<\delta, vale
|f(x)-1|=|1-1|=0<\varepsilon.
Isso mostra que \lim_{x\to1} f(x)=1. Portanto, nesta função o limite em 1 existe.
Esse contra-exemplo é suficiente para provar que a afirmativa " \lim_{x\to1} f(x) não existe" é falsa (pois existe ao menos uma função que satisfaz as hipóteses e tem limite em 1).]

Passo 4

Para reforçar a ideia: as hipóteses do enunciado permitem tanto casos em que o limite em 1\) exista quanto casos em que não exista. Um exemplo em que o limite NÃO existe é, por exemplo, \[g(x)=\begin{cases} 2+\sin\!\bigl(\tfrac{1}{x-1}\bigr), & x\neq2,\\[4pt] -3, & x=2. \end{cases}
Aqui, para x\neq2\] tem-se \(g(x)\in[1,3], logo g(x)>0 para x\neq2, e g(2)=-3. Mas \lim_{x\to1} g(x) não existe porque \sin(1/(x-1)) oscila quando x\to1; por exemplo, há sequências x_n\to1 com g(x_n)\to2 e outras com g(x_n)\to3, logo não há um único limite.
Assim, as hipóteses são compatíveis com ambos os comportamentos (existência ou não do limite em 1), portanto a afirmativa universal de que “o limite não existe” é falsa.]

Passo 5

Conclusão: a afirmativa é falsa e o contra-exemplo dado em

Resposta

Falsa.

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