Calcule o limite, caso exista, ou especifique porque não existe. Não é permitido usar derivada. Lembre-se de justificar sua resposta.
lim x 1 2-raiz2 x+2x^2-1

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular o limite
limxto12-raiz2x+2x^2-1
Esse é um problema de cálculo de limites que gera forma indeterminada 0/0. Como não podemos usar derivada, vamos usar a técnica de racionalização de radicais.

Passo 2

Verificação da indeterminação: ao substituir diretamente x=1 temos
Numerador: 2-raiz2cdot1+2=2-2=0
Denominador: 1^2-1=0
Logo obtemos 0/0, ou seja, indeterminação.

Passo 3

Racionalização do numerador: multiplicamos numerador e denominador por 2+raiz2x+2. A expressão fica
2-raiz2x+2x^2-1cdot2+raiz2x+22+raiz2x+2 =4-(2x+2)(x-1)(x+1)l(2+raiz2x+2r) =2(1-x)(x-1)(x+1)l(2+raiz2x+2r)

Passo 4

Simplificação e cancelamento: notamos que 1-x=-(x-1), então
2(1-x)(x-1)(x+1)l(2+raiz2x+2r) =-2(x-1)(x-1)(x+1)l(2+raiz2x+2r) = -2(x+1)l(2+raiz2x+2r)
Agora não há mais indeterminação.

Passo 5

Cálculo do limite na forma simplificada: basta substituir x=1 em
-2(x+1)(2+raiz2x+2)
obtendo
-2(1+1)(2+raiz4)=-22cdot4=-14

Resposta

-14

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