Sejam a, b in R tais que a+b=8. Considere a função f: R R dada por
f(x)= x^2-b x+1 & se x >= 1 -a x^2 & se x<1
Determine os valores de a e b de forma que f seja contínua em x=1.

Passo 1

Temos a função definida em duas partes com parâmetros a e b sujeitos à condição a+b=8. Queremos que f seja contínua em x=1, portanto precisamos usar a definição de continuidade numa função por partes, que exige que os limites laterais em x=1 sejam iguais ao valor da função em x=1.

Passo 2

Para x>=1, o valor de f(1) é dado por
f(1)=1^2 - bcdot1 + 1 = 2 - b
Para x<1, o limite à esquerda em x=1 é
limxto1^-f(x)=limxto1^-(-a x^2)=-acdot1^2=-a
Pela continuidade, igualamos esses dois valores:
-a = 2 - b

Passo 3

Agora resolvemos o sistema
a + b = 8, -a = 2 - b
Da segunda equação, temos b = a + 2. Substituindo em a + b = 8:
a + (a + 2) = 8 Longrightarrow 2a + 2 = 8 Longrightarrow a = 3
Então b = 8 - a = 5.

Resposta

a = 3, b = 5

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